Ko'p argumentli funksiyalarning ekstremumlari

Ko'p argumentli funksiyalarning ekstremumlari Reja: 1. Shartsiz ekstremum masalasi 2. Ekstremum mavjud bo'lishining zarur va etarli shartlari 3. Shartli ekstremum masalasi 4. Ekstremal qiymatlarni topishga doir masalalar Shartsiz ekstremum masalasi -o'lchovli Yevklid fazosi da aniqlangan funksiyalarni ko'ramiz. Fazoning nuqtalarini X bilan belgilaymiz. Bazi o'rinlarda o'lchovli vektor bo'lsa, uni vektor-satr ko'rinishda yozilgan deb hisoblab, kerak bo'lsa uni transponirlash orqali bunday ko'rinishda yozish mumkin bu yerda vektorning komponentlari, nuqtaning koordinatalari. Yevklid fazosidan olingan to'plamda aniqlangan funksiya berilgan bo'lsin. Funksiyaning ekstremum nuqtasi funksiyaning maksimum yoki minimumini belgilaydi. 1-ta'rif. Agar tengsizlik har qanday larda etarlicha kichik bo'ladigan barcha lar uchun bajarilsa, nuqta lokal maksimum nuqta bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, agar funksiyaning qiymati uning har bir nuqtasi ning kichik atrofida dan oshmasa lokal maksimum nuqta bo'ladi. 2-ta'rif. Agar vektor uchun tengsizlik o'rinli bo'lsa, nuqta lokal minimum nuqta bo'ladi. 3-ta'rif. Agar bo'lsa, noqatiy maksimum nuqtasi bo'ladi va agar shart bajarilsa nuqta qatiy maksimum nuqtasi bo'ladi, bunda ta'rifi yuqorida aytib o'tilgan vektor. Agar funksiya aniqlangan to'plamning barcha nuqtalari uchun munosabatlar bajarilsa, funksiyaning global minimum (maksimum) nuqtasi deyiladi. Global ekstremum nuqtasi lokal ekstremum nuqtasi bo'ladi, teskarisi shart emas. Agar funksiyaning global minimumi yoki maksimum nuqtasi topilsa, funksiya qiymatlarining eng kichigini yoki eng kattasini aniqlash imkoni tug'iladi. Optimallashtirish masalasi funksiya ekstremumini topish masalasi bo'lib, undagi ekstremal qiymati qidirilayotgan funksiya maqsad funksiyasi deyiladi, -boshqariluvchi parametr, -mumkin bo'lgan to'plam va -masalaning mumkin bo'lgan yechimidir. maqsad funksiyasining shartsiz ekstremumini topish masalasi ekstremumga erishadigan nuqtani topishdan iborat. Ekstremum mavjud bo'lishining zarur va etarli shartlari Optimallashtirish masalalarida ekstremum mavjudligi masalasi juda muhim. Ekstremum mavjudligining zarur va etarli shartlari orqali bu masala hal etiladi. Zaruriy shartlar ko'rilayotgan nuqta ekstremum nuqtasi ekanligidan kelib chiqadigan shartlar bo'lsa, etarli shartlardan ko'rilayotgan nuqta ekstremum nuqtasi ekanligi kelib chiqadi. o'zgaruvchili funksiya ekstremumlari mavjud bo'lishining zaruriy va etarli shartlarini keltiraylik. Bunda ning birinchi va ikkinchi tartibli xususiy hosilalari har bir nuqtada uzluksiz deb faraz qilinadi. 1 - teorema. Agar nuqta ning ekstremal nuqtasi bo'lsa, bo'ladi. Isbot: Teylor teoremasiga ko'ra bo'lganda, yoyilma o'rinli, bunda vektor, uning aniqlanishi yuqorida berilgan. Agar etarli darajada kichik bo'lsa u holda qoldiq had- tartibli cheksiz kichik miqdor bo'ladi, bu holda yuqoridagi yoyilmani quyidagicha taqribiy tenglik tarzida yozish mumkin. Faraz qilamiz, minimum nuqtasi, ligini inkor etib, 0 ga tengligini isbot qilamiz. bu shart bajarilmaydigan bo'lsin, u holda bazi bir uchun yoki . ishorasini har doim, shunday tanlab olish mumkinki, bo'lsin. Agar qolgan larni 0 ga teng qilib olsak unda Teylor yoyilmasidan quyidagi tengsizlik kelib chiqadi. Olingan natija -minimum ...