Ko'pburchak yuzasining yagonalik teoremasi. Tengdosh va teng tuzilgan ko'pburchaklar

Ko'pburchak yuzasining yagonalik teoremasi. Tengdosh va teng tuzilgan ko'pburchaklar. Reja: 1. Yuzaning yagonalik teoremasi. 2. Tengdosh va teng tuzilgan ko'pburchaklar. 3. Yevklid fazosida ko'pyoqning xajmi. 4. Uyga vazifa. 1. Yuzaning yagonalik teoremasi. Yevklid geometriyasida yuzaning 1), 2), 3) aksiomalarini qanoatlantiradigan S:MR+ akslantirish mavjud ekanligini biz yuqorida ko'rib o'tdik. Bunday akslantirishning yagona ekanligini ko'rib chiqamiz. 1-teorema. Agar S:MR+ akslantirish yuzalarni o'lchashning 1)-3)aksiomaklarini qanoatlantirsa,u holda tamonlari x va u bo'lgan R to'g'ri to'rtburchakning yuzi uchun S(P)=xy tenglik o'rinlidir. Isbot. M0 barcha to'g'i to'rtburchaklar to'plami bo'lsin (tekislikda). To'g'ri to'rtburchaklarning mos tomonlari teng bo'lsa, bu to'rtburchaklar ham teng bo'ladi. S:M0R+ akslantirishda S(P) yuza x va u ning funksiyasidir, x,yR+. Aytaylik f: S(P)=f(x,y) bo'lsin. Bu holda f fuksiya quyidagi hossalarga ega bo'ladi. f(x,y)=f(x,y) (1) f(x1+x2, y)=f(x,y)+f(x2,y) (2) f(x,y)=f(1,y)x (3) (3) xossani ko'rsatish uchun f(x,y0)=g(x), y0R+ belgilash kiritsak, u holda (2) hossadan g(x1+x2)=g(x1)+g(x2) bo'ladi. Bunday fuksiyalar uchun g(x)=kx, k=const to'g'ri prokartsionallikdan iborat. Umuman olganda k=k(y) dir, yani f(x,y)=k(y)x. Agar x=1 bo'lsa, u holda f(1,y)=k(y) bo'lib (3) tenglik o'rinlidir. (1) va (3) xossalardan f(1,y)=f(y,1)=f(1,1)y. 3) aksiomaga ko'ra f(1,1)=1 bo'lib f(1,y)=y bo'ladi. Demak, (3) tenglikka ko'ra f(x,y)=xy dir, yani S(P). Teorema isbotlandi. 2-teorema. Agar S:M0R+ akslantirish yuzalarni o'lchashning 1)-3) aksiomalarini qanoatlantirsa, u holda asosi x , balandligi u bo'lgan T uchburchak yuzasi uchun S(T)= tenglik o'rinlidir. Bu teorema yuuqoridagi teorema sigari isbotlanadi. Keltirilgan 1-2 teoremalar asosida evklid geometriyasi yuzaning yagonaligi haqidagi quyidagi teorema isbotlanadi: 3-teorema (yagonalik teoremasi).Agar birlik kesma tanlab olingan bo'lsa, u holda yuzalarni o'lchashning 1), 2), 3) aksiomalarini qanoatlantiradigan bittadan ortiq bo'lmagan S:M0R+ akslantirish mavjud. Isbot. Teskarisidan faraz qilamiz: bunday akslantirishlar ikkita bo'lsin: S:M0R+ va S:M0R+. Ixtiyoriy sodda ko'pburchak F ni olib, uni chekli sondagi uchburchaklarga bo'lib chiqamiz: F=1+2+…+n 2) aksiomaga ko'ra (4) 2- teoremaga asosan S(i)=S'(i), i=1,2,…,n bo'lib, (4) tenliklardan S(F)=S'(F). Demak, S va S' akslantirishlar ustma-ust tushadi. Teorema isbotlandi. 1- natija. F ko'pburchak qanday usullarda uchburchaklarga ajratilishdan qatiy nazar bu uchburchaklar yuzalari yig'indisi bir xil bo'ladi. 2-natija. A1A2…An ko'pburchak uchlari to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasida Ai(xi,yi), i=1,2,…,n koordinatalarga ega bo'lsa, u holda 2. Tengdosh va teng tuzilgan ko'pburchaklar. Yuzalari teng bo'lgan ikkita ko'pburchak tengdosh deyiladi. Ko'pburchaklarning tengdoshlik munosabati M ko'pburchaklar to'plamida ekvivalentlik munosabati bo'ladi. Agar F va F' ko'pburchaklarni bir xil sondagi va uchburchaklarga ajratish mumkin bo'lib, bundagi mos uchburchaklar teng yuzalarga ega bo'lsa, u holda F va F' ko'pburchaklar teng tuzilgan deyiladi. Ko'pburchaklarning teng tuzilganlik munosabati ham bunday ko'pburchaklar to'plamida ekvivalentlik munosabati bo'lishini isbotlash mumkin. Ko'rish mumkinki, agar ikkita ko'pburchak teng tuzilgan bo'lsa, u ...