Korrekt masalalar. Koshi va chegaraviy masala. Laplas tenglamasi uchun koshi masalasi

Korrekt masalalar. Koshi va chegaraviy masala. Laplas tenglamasi uchun koshi masalasi Reja: 1. Korrekt qo'yilgan va kuyilmagan masala 2. Koshi masalasi 3. Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi. Fizik hodisalarni matematik nuqtai nazardan ifodalashda usha hodisani bir qiymatli ifodalash uchun kerakli buladigan shartlarni hisobga olish etarli bo'ladi. Torning kundalang tebranishlari haqidagi masalani karaylik Torning ikki cheti maxkamlangan . Demak, u (0, t)=0, u (l, t)=0 (1) shart bajarilishi kerak. (1) ga chegaraviy shart deyiladi. Torning tebranishi uning boshlang'ich ko'rinishadan va nuqtalardagi tezliklarining taksimlanishidan bog'liq bo'ladi, yani boshlang'ich shartga u (x, t0)=(x), (2) bog'liq bo'ladi. (2) ga boshlang'ich shart deyiladi. Demak, tor tebranishi masalasida qo'shimcha shartlar chegaraviy (1) va boshlang'ich (2) shartlardan iborat bo'ladi. Keyinchalik biz shuni kursata olamizki, bu shartlar tor tebranishi tenglamasini yechish uchun tula etarli bo'ladi. Agar torning chetki nuqtalari biror qonun bo'yicha harakatlansa chegaraviy shart u (0 ; t)=1(t), u (l ; t)= 2(t) (1) ko'rinishda bo'ladi. Agar bizni juda qisqa vaqt oraligidagi jarayon kiziktirsa, yani chegaralar bor- yukli ahamiyatga ega bulmasa, u holda kuyidagicha masala kuyish mumkin: Ikki (1) va (2) shartlar birgalikda chegaraviy shartlar xam deb ataladi. Massasi quyidagi tenglamaning boshlang'ich shartlarni shartlarni kanoatlantiruvchiyechimi topilsin. Ana shu masalani to'lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi deyiladi. Umuman chegaraviy masala kuyidagicha kuyiladi: Masala: Ushbu sohada aniqlangan va tenglamani va chegaraviy shartni hamda boshlang'ich shartlarni kanoatlantiruvchi U(x,t) funksiya topilsin. yuqorida aytib utilgan Koshi masalasini kuyidagicha yozish mumkin. Masala: Ushbu tenglamaning boshlang'ich shartlarni kanoatlantiruvchi U(x,t) funksiya topilsin. Isbot qilish mumkinki, U(x,t) funksiya yagona bo'ladi, xuddi shunday yana shuni isbotlash mumkinki f(x; t) funksiyaning kichik o'zgarishiga, Koshi masalasi yechimining kichik o'zgarishi mos keladi., agar albatta soha t bo'yicha chegaralangan bulsa. Bu yerdan shuni xulosa qilib aytish mumkinki, to'lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi korrekt qo'yilgan massasi bular ekan. Korrekt kuyilmagan masalada albatta yagona yechim va f(x; t) funksiyaning kichik o'zgarishiga, yechim U(x,t) ning kichik o'zgarishi mos kelishi buzilar ekan. yuqoridagilardan xulosa qilib korrekt masalaga kuyidagicha ta'rif berish mumkin. ta'rif. Matematik masala korrekt qo'yilgan deyiladi agar : Masala yechimi mavjud bulsa; Masala yagona yechimga ega bulsa; Masala yechimi berilgan shartlarga uzluksiz bog'liq bulsa: (3) shartni bazi xollarda turgunlik yani yechimning turgunlik sharti xam deb atashadi. Nokorrekt masalaga misol keltarmiz. Laplas tenglamasi boshlang'ich shartlarni kanoatlantiruvchi U(x;y) yechimini topish masalasi Laplas tenglamasi uchun Koshi masalasi deyiladi. Ushbu U(1)(x;y)=0, U(2)(x;y)= funksiyalar Laplas tenglamasini kanoatlantiradi. U(1)(x;y)=0, U(2)(x;y)= kurinib turibdiki . Kuyilayotgan boshlang'ich shartlar keraklicha katta larda bir-biridan juda kam farq qiladi. Ammo yechim U(2)(x;y) ning qiymati qanday bulmasin, ...