Koshi formulasi. Koshi integrali

Koshi formulasi. Koshi integrali Reja: 1. Koshi formulasi 2. Koshi integrali. Tayanch iboralar : Koshi formulasi , Koshi integrali. Kompleks o'zgaruvchili f (z) funksiyadan olingan integral nafaqat f(z) funksiyaga , balki integrallash yo'liga xam bog'liqligini ko'rib utdik. Unda z0 va z1 nuqtalarga G 1 va G2 yullar bilan keladigan bulsak, va larning qiymati xam har xil bular edi. Shunday bir kizik savol tugiladi. f(z) funksiya qanday bo'lganda funksiyaning qiymati G ga bog'liq bulmay fakat z0 va z1 nuqtalarga bog'liq bo'ladi ? Bu savolga javob berish uchun haqiqiy o'zgaruvchili funksiyalar uchun egri chiziqli integralning integrallash yo'liga bog'liq bulmaslik sharti - «berilgan integral ixtiyoriy yopiq kontur bo'yicha integrallanganda qiymati nolga teng bo'lishi kerak» ni eslash kifoya. Biz bilamizki kompleks o'zgaruvchili funksiyadan olingan integral ikkita haqiqiy o'zgaruvchili funksiyalardan olingan egri chiziqli integral bilan ifodalanadi. Bir boglamli G sohaning xar bir nuqtasida uzluksiz hosilaga ega bo'lgan f(z) = i(x ; u)+iv (x ;u) funksiya shu sohada analitik bo'ladi. Demak, i(x ; u) va v (x ;u) funksiyalar uzlarining xususiy hosilalari bilan G sohada uzluksiz bo'ladi va (S.R) shartlarini kanoatlantiradi. G sohada tula yotuvchi yopiq G konturni olamiz. U holda haqiqiy o'zgaruvchili funksiyalar uchun Ostrogradskiy - Grin formulasi (yoki Grin) ni ishlatamiz. U holda = Demak, Biz, bu bilan shunday teoremani isbot kildik : KOShI TYeORYeMASI : Agar f(z) funksiya G bir boglamli sohada bir qiymatli va uning xar bir nuqtasida uzluksiz hosilaga ega bulsa, u holda G sohada tula yotuvchi G yopiq kontur bo'yicha f(z) funksiyadan olingan integral nolga teng bo'ladi. Bir boglamli G soha G sillik chiziq bilan chegaralangan bulsin. f(z) funksiya coxada analitik bulsin. U holda quyidagi Koshi formulasi urinli bo'ladi : , bu yerda zG . I s b o t : z nuqta G dagi ixtiyoriy nuqta bulsin. G sohada =z dan tashqari xamma nuqtada analitik bo'lgan funksiyani karaymiz. () funksiya G va konturlar orasidagi barcha nuqtalarda xam analitik bo'ladi. Koshi teoremasiga asosan = , u holda Bu tenglikdan shunday xulosa qilish mumkinki, ning qiymati z nuqta yotgan kichik sohacha radiusiga bog'liq emas ekan. f(z) ni () funksiyaning = z nuqtadagi qiymati deb kabul kilsak, u holda () funksiya yopiq sohada butunlay uzluksiz bo'ladi. ligini etiborga olgan holda Agar L yopiq yoki yopiq emas sillik chiziq bulsa va (z) funksiya G bo'yicha uzluksiz bulsa ifodaga L da yotmaydigan xar bir z nuqta uchun aniq qiymatga ega bo'ladi. Demak, u qandaydir F(z) funksiya hosil qiladi, hamda L da yotmaydigan z lar ...