Lebeg integrali. Integral ostida limitga o'tish. Riman va Lebeg integrallarini solishtirish

Lebeg integrali. Integral ostida limitga utish. Riman va Lebeg integrallarini solishtirish Reja: Zaruriy tushunchalar. Asosiy teoremalar Masalalar yechish Mustaqil yechish uchun masalalar. Agar f(x) funksiyaning Ye to'plamdagi har xil qiymatlar soni sanoqli to'plamdan ortiq bo'lmasa, u holda bunday f(x) funksiya Ye to'plamda sodda funksiya deyiladi. Agar Yek to'plam o'lchovli Yek va bo'lib qator yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda Ye to'plamda berilgan va o'lchovli bo'lgan f(x) sodda funksiya Ye to'plam bo'yicha Lebeg manosida integrllanuvchi deyiladi. Agar Ye to'plamdagi f(x) sodda funksiya integrallanuvchi bo'lsa, u holda qator Lebeg integrali deyiladi va deb belgilanadi. Agar Ye to'plam deyarli hamma joyida f(x) funksiyaga tekis yaqinlashuvchi integrallanuvchi sodda fn(x) funksiyalar ketma-ketligi mavjud bo'lsa, u holda o'lchovli va deyarli hamma joyda chekli bo'lgan f(x) funksiya Ye to'plam bo'yicha Lebeg manosida integrallanuvchi deyiladi. Agar f(x) funksiya Ye to'plamda integrallanuvchi bo'lsa, u holda Ye to'plam bo'yicha Lebeg integrali deyiladi va deb belgilanadi. Asosiy teoremalar 1.Teorema. Faraz qilaylik f(x) sodda funksiya , ks) to'plamda berilgan bo'lsin. Agar Yek to'plamning har biri o'lchovli bo'lsa, u holda f(x) funksiya Ye to'plamda o'lchovli bo'ladi. 2.Teorema. O'lchovi nol bo'lgan to'plam bo'yicha ixtiyoriy f(x) funksiyadan olingan integral noga teng. 3.Teorema O'lchovi nol bo'lgan to'plamdagi integrallanuvchi funksiyaning o'zgarishi, uning integral qiymatini o'zgartirmaydi. Teorema. (additivlik xossasi) Faraz qilaylik Ye to'plam Ak to'plamlarning birlashmasi sifatida tasvirlangan bo'lib Ak larning ixtiyoriy bir jufti kesishmaydigan bo'lsin va Ak to'plam soni sanoqli to'plamdan ortiq bo'lmasin. Agar f(x) funksiya Ye to'plamda integrallanuvchi bo'lsa, u holda f(x) har bir Ak to'plamda integrallanuvchi bo'ladi va shu bilan birga 5.Teorema. Faraz qilaylik Ye to'plam Ak to'plamlarning birlashmasi sifatida tasvirlangan bo'lib Ak larning ixtiyoriy bir jufti kesishmaydigan bo'lsin va Ak to'plam sanoqli to'lamdan ortiq bo'lmasin. Agar f(x) funksiya har bir Ak to'plamlarda integrallanuvchi bo'lsa va bo'lsa, u holda f(x) funksiya Ye to'plamda integrallanuvchi bo'ladi. 6.Teorema.(Absolyut uzluksizlik xossasi) Agar f(x) funksiya Ye to'plamda integrallanuvchi bo'lsa, u holda 0, bo'lib ixtiyoriy eYe (e ...