Lebeg integrali. Matematik kutilma. Algebraga nisbatan shartli ehtimollik va shartli matematik kutilma

Lebeg integrali. Matematik kutilma. Algebraga nisbatan shartli ehtimollik va shartli matematik kutilma Reja: Shartli matematik kutilma. Shartli matematik kutilma xossalari. Xossalarning isboti. Lebeg integrali. Matematik kutilma xossalari. Radona-Nikodim teoremasi. ehtisollar fazosi bo'lsin va -sodda tasodifiy miqdor bo'lsin, yani , bu yerda o'lchovli to'plamlar, sodda tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi xuddi oldingi ta'rifga o'xshash aniqlanadi, yani sodda bo'lgan hol uchun xossalari (oldin isbotlangan) o'rinli bo'ladi. Endi tasodifiy miqdor uchun matematik kutilma ta'rifini beramiz. Faraz qilaylik nomanfiy tasodifiy miqdor bo'lsin. Teorema 1 ga ko'ra ga yaqinlashuvchi namonfiy tasodifiy miqdorlar ketma-ketligini ko'rish mumkin, yani shunaqaki, bo'lgani uchun d bo'ldi. ta'rif 1. Nomanfiy tasodifiy miqdor ning Lebeg integrali yoki matematik ketilmasi deb uchun matematik kutilma ta'rifini aniqladik. Endi bo'lganda aniqlaymiz. Faraz qilaylik tasodifiy bo'lsin va bo'ladi. U holda ta'rif 2. tasodifiy miqdorning -matematik kutilmasi mavjud yoki aqinlangan deyiladi, agarda hech bo'lmaganda yoki chekli bo'lsa: ( deyiladi, agar yoki bo'lsa) bo'lsa, bo'lgani uchun ta'rif 1 dan aniqlangan. Bu holda bo'lgani uchun matematik kutilma Lebeg integrali deyiladi. ta'rif 3. tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi chekli deyiladi, agarda va bo'lsa) tasodifiy miqdorning tartibli momenti deyiladi. tasodifif miqdorning tartibli absolyut momenti deyiladi. Matematik kutilma xossalari. A. Faraz qilaylik va -bo'lsin. U holda ham d bo'ladi va Isbot: Sodda tasodifiy miqdorlar uchun bu xossa o'rinli. Faraz qilaylik , bu yerda --sodda tasodifiy miqdor ketma-ketligi va bo'lsin. U holda bo'ladi va (d bo'ladi) Umumiy holda quyidagilardan kelib chiqadi: va uchun 1) ( uchun isbotlangan) 2) B) Faraz qilaylik, bo'lsa bo'ladi. S) Agar bo'lsa, u holda D) Agar -d bo'lsa, u holda har bir uchun d bo'ladi; agar chekli bo'lsa, u holda ham chekli bo'ladi. Ye) Agar va nomanfiy tasodifiy miqdorlar bo'lsa, yoki bo'lsa, k holda bo'ladi. D) xossadan bilan belgilanadi. tasodifiy miqdor to'plam bo'yicha Lebeg integrali deyiladi. V) Agar bo'lsa ta'rifidan kelib chiqadi. S) Agar -d bo'lsa, u holda bo'ladi. Isbot. bo'lgani uchun, u holda va xosalaridan yani D) Agar -d bo'lsa, u holda uchun d bo'ladi; agar chekli bo'lsa, chekli bo'ladi. Isbot. tengsizliklardan va D xossadan (*) yoki (*) chadan chekli bo'lsa, yani -chekli bo'ladi E) Agar va nomanfiy tasodifiy miqdorlar yoki u holda bo'ladi. Isbot. Faraz qilaylik va va -shunaqa sodda funksiyalar ketma-ketligi . U holda va tenglik sodda funksiyalar ketma-ketligi uchun o'rinli Faraz qilaylik tasodifiy miqdor bo'lib, aniqlangan ( yoki ) bo'lsin. U holda D xossadan aniqlangan, va quyidagicha to'plam funksiya quramiz: Bu to'plam funksiyasini additiv ekanligini ko'rsatamiz. Faraz qilaylik tasodifiy miqdor. U holda bo'lganda additivligi quyidagilardan kelib chiqadi: ...