Matematik fizika tenglamalari tiplari. Tor tebranishi tenglamasi

Matematik fizika tenglamalari tiplari. Tor tebranishi tenglamasi Reja: 1. to'lqin tenglamasi 2. Fure tenglamasi 3. Laplas tenglamasi 4. Tor tebranishi tenglamasi. Matematik fizikaning asosiy tenglamalari deb quyidagi ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarga aytiladi: I to'lqin tenglamasi (1) Bu tenglama torning kundalang tebranishi , sterjenning buylama tebranishi , o'tkazgichda elektr tebranishlari , valning aylanma tebranishi , gaz tebranishi jaraenlarini ifoda qiladi. Bu tenglama giperbolik tipdagi tenglamalarning eng soddasi hisoblanadi. II issiqlik o'tkazuvchanlik yoki Fure tenglamasi. (2) Bu tenglama issiqlikning tarqalish, gaz va suyuqliklarning govak muhitda filtrlanish jarayonlarini hamda ehtimollar nazariyasining bazi masalalarini o'rganishga olib keladi. Bu tenglama parabolik tipdagi tenglamalarning eng soddasi hisoblanadi. II Laplas tenglamasi (3) Bu tenglama elektr va magnit maydonlari, statsionar issiqlik holati, gidrodinamika, diffuziya masalalarini o'rganishga olib keladi. Bu tenglamaga elliptik tipdagi tenglamalarning eng soddasi deyiladi. Demak, matematik fizika tenglamalari uchta tipdan iborat ekan. Bu tenglamalar uch va undan ortik o'zgaruvchilar uchun xam mavjud. Masalan , to'lqin tenglamasi uchta o'zgaruvchi bilan Fure tenglamasi Laplas tenglamasi yoziladi. Tor tebranishi tenglamasi. Matematik fizikada tor deganda tarang ingichka ip tushuniladi. Aytaylik l uzunlikdagi torning ikki tarafi x=0 va x= l nuqtalarga maxkamlangan bulsin. Agar torning biror nuqtasini bosib kuyib yuborsak, yoki uni biroz tortib yuborsak u harakatga keladi, yani tebrana boshlaydi. Bizning asosiy masalamiz istalgan vaqtda torning joylashgan ko'rinishini aniqlash va torning xar bir nuqtasi harakat qonunini aniq- lashdan iborat. boshlang'ich paytda tor OX ukida yotibdi deb faraz qilib , uning juda kichik chetlanishini ka- raymiz. Torning harakati OX ukiga perpendikulyar yo'nalishda bo'ladi. Bu holda torning tebranish jarayoni u(x; t) funksiya orqali bo'ladi. Juda kichik tebranishda yoyning uzunligi OX ukdagi proyeksiyasiga teng bo'ladi: =x2- x1 Bu yerda torning zurikishi xamma nuqtalarida bir xil bo'ladi deb karaymiz va uni T bilan belgilaymiz. Torning , bo'lagini karaymiz. Bu bo'lak chetlarida torga urinmalar bo'yicha kuchlar ta'sir qiladi. Aytaylik, urinmalar OX uki bi- lan va + burchaklar hosil kilsin. U holda bo'lakcha ta'sir qiluvchi Ou ukdagi proyeksiyasi Tsin(+)-Ttg. Burchak juda kichik bo'lganda sintg bo'ladi. Shuni etiborga oladigan bulsak, Tsin(+)-TsinTtg (+)-Ttg=T =T Biz bu yerda f (b)-f (a)=f (c)(b-a) c(a ; b) Logranj teoremasini ishlatdik bo'lakka qo'yilgan tashqi kuchlarni xam hisobga olish kerak bo'ladi, yani inertsiya kuchlarini tenglashtirish kerak. Torning chiziqli zichligi bulsin, u holda bo'lak massasi x bo'ladi. bo'lak tezlanishi ga teng bo'ladi. Dalamber prinsipiga asosan x va bilan beligilaymiz. Natijada harakat tenglamasi ga ega bulamiz. Bu tenglama to'lqin tenglamasi - tor tebranishi tenglamasi deyiladi. Nomalum funksiya u(x; t) yana chegaraviy va boshlang'ich ...