Matritsaning rangini uning minorlaridan foydalanib hisoblash

Matritsaning rangini uning minorlaridan foydalanib hisoblash Reja: 1. Matritsaning rangi va uning noldan farqli minorlarining tartibi orasidagi bog'lanish. 2. Matritsalar kupaytmasining determinanti. 3. Misollar. (Determinantlarni hisoblash). 1. Faraz etaylik bizga mxn -tartibli Ak(ai j) matritsa berilgan bulsin. Biz bundan avval matritsaning rangini elementar almashtirishlardan foydalanib hisoblash mumkin ekanligini kurgan edik. Endi ushbu teoremani isbotlaymiz. 1-teorema. Ak(ai j) matritsaning rangi uning noldan farqli minoralarining eng yuqori tartiblisining tartibiga teng. Isboti. A matritsada xoldan farqli eng yuqori k-tartibli minor M uning yuqori chap burchagida joylashgan bulsin: Aks holda A ning satr va ustunlarining urinlarini o'zaro almashtirib shu xolga olib kelish mumkin. Bu bilan uning rangi uzgarmaydi. A ning s- satri (s k1, 2, 3 , , m) birinchi k ta satrlar orqali chiziqli ifodalanadi.Ushbu (k+1)- tartibli determinant i ni karaymiz: Bu yerda ik 1, 2, . . . , n; s k k+1, k+2, . . . , m . Barcha ik 1, 2, . . . , n lar uchun i k 0, chunki i k da i da ikkita bir xil ustun mavjud bo'ladi. k+1 i da esa i A ning (k+1) - tartibli minorini ifodalaydi, shuning uchun xam i k0 . i ni oxirgi ustun elementlari bo'yicha yoysak a1i A1i + a2i A2i +…+ ari Ari + as i As i k 0, (1) Bunda A k(-1)k+1+k+1 M kMk0 bo'lgani uchun (1) ni as i ga nisbatan echsak as i k1 i a1 i + 2 i a2 i + . . . + r i ar i , (ik 1, 2, . . . , n; s k k+1, k+2, . . . , m) ga ega bulamiz. Bundan kurinadiki A ning s-catri birinchi k ta satrlari orqali chiziqli ifodalanadi. Demak, A matritsaning rangi (satrlar bo'yicha rangi) k ga teng. Natija. Determinantning nolga teng bo'lishi uchun uning satrlari (ustunlari) chiziqli boglangan bo'lishi zarur va etarlidir. Misol . matritsaning rangini hisoblang. Avvalo shuni takidlash kerakki, matritsaning rangini minorlardan foydalanib hisoblashda fakat bir-birining ichiga joylashgan minorlarini tekshirish kifoya. Bizning misolimizda M1 k1 0 Demak, r(A) k 4. 2. Matritsalar kupaytmasining determinanti 2- teorema. A va B n-tartibli kvadrat matritsalar kupaytmasining determinanti shu matritsalar determinantlarining kupaytmasiga teng. Isboti. Agar AkE- birlik matritsa bulsa E B k 1 B k E B . yani bu holda teorema urinli. 2-teoremani isbotlashdan oldin ushbu lemmani isbotlaymiz. Lemma. Agar A'' matritsa A' matritsadan birta elementar satr almashtirish yordamida hosil qilingan bulsa, u holda A' ...