Maxsus yechimlar. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar

Maxsus yechimlar. hosilaga nisbatan echilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar Reja: 1. Maxsus yechimlar. 2. hosilaga nisbatan echilmagan tenglamalarni yechish usullari. 3. Klero tenglamasi. 4. Lagranj tenglamasi. 5. Xulosa. 1. Maxsus yechimlar. Biz yuqorida y'=f(x,y) (1) differensial tenglama yechimining mavjudligi va yagonalagi haqidagi teoremani keltirgan edik. Agar teoremadagi shartlardan birortasi yoki ikkalasi bajarilmasa (1) tenglama yechimga ega buladimi? Agar yechimga ega bulsa yagona buladimi degan savolga javob beramiz. Birnecha misollar kuraylik: 1) y'= differensial tenglamani karaymiz. f(x,y)= funksiya (0,0) nuqtada uzluksiz emas (teoremaning birinchi sharti bajarilmaydi). Berilgan tenglamani u0 da echsak, u2=x2+s (2) ko'rinishdagi umumiy integralni hosil kilamiz. Ayni paytda berilgan tenglamaning u boshlang'ich shartni kanoatlantiruvchi yani (0,0) nuqtadan utadigan yechimlari mavjud bo'ladi va ular u=x , u=-x lardir. Bu yechimlar s ning xech bir qiymatida (2) umumiy integraldan kelib chikmaydi. 2) tenglamani kuraylik. , bo'ladi, yani 0x ukdagi (u=0) nuqtalarda berilgan funksiya uchun Lipshits sharti bajarilmaydi. Berilgan tenglamaning (x,u)(x,0) bo'lgan nuqtalardagi umumiy yechimini topamiz. ; Ayni paytda berilgan tenglamaning u boshlang'ich shartni kanoatlantiradigan yani (s,0) nuqtadan utadigan yechimlari xam mavjud bo'lib, ular u=0 , u= Bu yechimlar s ning xech bir qiymatida umumiy integralidan kelib chikmaydi. differensial tenglamaning umumiy integralidan s ning xech bir qiymatida xam hosil bulmaydigan va grafigi umumiy yechimga kirgan egri chiziqlar oilasining uramasidan iborat bo'lgan yechim differensial tenglamaning maxsus yechimi deyiladi. (1) ning umumiy integrali F(x, u, s)=0 (3) bulsin. sistemadan s ni yukatib , =0 tenglamaga ega bulaylik. Agar bu funksiya (1) tenglamani kanoat-lantirsa, bu yechim maxsus yechim bo'ladi. Maxsus yechimni tasvirlovchi egri chizigi utadi, boshqacha aytganda yechimning yagonaligi buziladi. differensial tenglama yechimining yagonaliga buziladigan nuqta maxsus nuqta deyiladi. Demak maxsus yechim maxsus nuqta-lardan iborat bo'ladi. Misol. u2(1+y'2)=R2 tenglamani eching. Berilgan tenglamani quyidagi ko'rinishga keltiramiz. o'zgaruvchilarni ajratsak ko'rinishga keladi. Ishonch hosil qilish mumkinki, bu tenglamaning umumiy integrali F(x, u, s)=(x-s)2+u2-R2=0 bo'ladi. F'c =2(x-s) y=R bo'ladi. y=R ,y=-R lar berilgan tenglamani kanoatlantiradi. Demak y=R , y=-R lar maxsus yechimlardir. 2. hosilaga nisbatan echilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar. Klero va Lagranj tenglamalari utgan darslarda hosilaga nisbatan echilgan y'=f(x,y) tenglamani karadik va urgandik. Endi hosilaga nisbatan echilmagan tenglamalarning bazi muhim xususiy xollarini karaymiz. quyidagi u=x (1) ko'rinishdagi tenglama Klero tenglamasi deyiladi. y'=p deb olsak u=xr+(r) (1') hosil bo'ladi. (1') tenglamaning ikkita tomonini x bo'yicha differensiallasak: Bu tenglamadan (2) x+(r)=0 (3) hosil bo'ladi. (3) dan r=s va uni (1') ga kuysak, berilgan tenglamaning umumiy u=sx+(s) (4) yechimi kelib chikadi. (3) tenglamadan r ni x ning funksiyasi kabi topsak va ...