Maydonning kompleks kengaytmasi. Kompleks sonlar maydoni

Maydonning kompleks kengaytmasi. Kompleks sonlar maydoni Reja: 1. Kompleks kengaytma haqida tushuncha. 2. Kompleks kengaytmaning mavjudligi. 3. Kompleks sonlar maydoni. Maktab matematika kursidan malumki, x2+1=0 tenglama haqiqiy yechimga ega emas ekanligi, yani bu tenglamaR= maydonda yechimga ega emas. Endi R maydonning shunday kengaytirish masalasini qo'yamizki, natijada u kengaytmada x2+l=0 tenglama yechimga ega bo'lsin. Bunday kengaytmani qurishning bir qancha usullari mavjud. Shulardan biri bo'lgan quyidagi usulni ko'raylik: Avvalo aR haqiqiy songa (a;0) juftlikni mos qo'yamiz, yani (a;0)=a deb olamiz. vR olib (a;v) tartiblangan juftlikni tuzamiz. Bunday juftliklar to'plamini S orqali belgilaymiz. S to'plam elementlari uchun tenglik munosabati, qo'shish va ko'paytirish kabi binar algebraik amallarni mos ravishda quyidagicha kiritamiz: 1. (a; v)=(s; d)(a=c)(v=d)((a; v), (s; d)C; 2. (a; v)+(s; d)=(a+c; v+d) ((a; v), (s; d)C; 3. (a; v)(s; d)=(ac-vd; ad+vs) ( (a; v), (s; d) C; Teorema, (a; v) a, v R to'plam kommutativ halqa bo'ladi. Bu teoremaning isboti [1] da berilgan. Teorema. algebra maydon bo'ladi. Bu teoremani isboti [1] da berilgan. maydon bo'lib uni kompleks sonlar maydoni deb yuritiladi va uni S harfi orqali belgilanadi. S to'plamning elementi S maydonning ham elementi bo'ladi. Shu sababli (a; v) tartiblangan juftlik S maydonning elementi bo'lib, u kompleks son deyiladi. S kompleks sonlar maydoni o'z ichiga R haqiqi conlar maydonini oladi, chunki (a;v) juftlikda v=o bo'lsa, (a;0)=a bo'lib (a;0) juftliklar to'plami haqiqiy sonlar to'plamidan iborat bo'ladi. (0; 0)=0 bo'ladi. (0;1) juftlikni i orqali belgilaylik, yani (0;1)=i bo'lsin. z=(a;v)+(0;0)=(a+0;0+v)=(a;0)+(o;v)=a(1;0)+v(0;l)=al+vi= =a+vi, yani z=(a;v)=a+vi bo'lar ekan. Bunda a va v lar haqiqiy sonlar bo'lib, a son z kompleks sonning haqiqiy qismi, v son esa z kompleks sonning mavhum qismi, i mavhum birlik deyiladi. Agar z=a+vi da v0 bo'lsa, u holda a+vi mavhum son, a=0, v0 bo'lsa, vi son sof mavhum son deyiladi. z=a+vi ga z kompleks sonning algebraik shakli, (a; v) ga z kompleks sonning juftlik shakli deyiladi. Demak, S maydonda kvadrati -1 ga teng bo'lgan i son bo'lib, bu maydonda x2+1=0 tenglama x1,2=+i yechimga ega bo'ladi. Tapif F1= maydon kvadrati -1ga teng bo'lmagan elementlardan tuzilgan maydon bo'lib, quyidagi shartlar bajarilsa, u holda K maydon F1 maydonning kompleks kengaytmasi deyiladi: F1 maydon K maydonning maydonosti; K da kvadrati -1 ga teng bo'lgan i element mavjud bo'lsa; 3. K maydonning har bir z elementini z =a+vi (a, v F) ko'rinishda yagona ifodalash mumkin bo'lsa. Bu ta'rifga ko'ra S maydon R maydonning kompleks kengaytmasi bo'ladi. Teorema. Har bir ...