Metrik fazoda ochiq va yopiq to'plamlar

Metrik fazoda ochiq va yopiq to'plamlar Reja: Asosiy tushunchalar. Asosiy teoremalar. 3. Masalar yechish. X metrik fazoda markazi x nu=tadagi ixtiyoriy shar (ochi= yoki yopi= shar) x nu=taning sferik atrofi deyiladi. x nu=taning sferik atrofini iz ichiga olgan ixtiyoriy tiplam x nu=taning atrofi deyiladi va O(x) deb belgilanadi. Agar ixtiyoriy O(x) da shech bilmaganda bitta u nu=ta mavjud bilsa, u holda x nu=ta tiplamning urinish nu=tasi deyiladi. tiplamning shamma urinish nu=talar tiplami A tiplamning tutash tiplami deyiladi va uni deb belgilanadi. Agar O(x) atrof a==ali bitta ux, u nu=tani iz ichiga olsa, u holda x nu=ta A tiplamning () limit nu=tasi deyiladi. tiplamning limit nu=talar tiplami shosilaviy tiplam deyiladi va A' deb belgilanadi. Asosiy teoremalar. 1.teorema. Ixtiyoriy x nu=ta (x) A tiplamning () limit nu=tasi bilishi uchun nm bilganda xnxm bilib n da xnx biladigan xn ketma-ketlikning (xnA) mavjud bilishi zarur va kifoya. ta'rif. Agar bilsa (), u sholda A tiplam yopi= deyiladi. 2.teorema. A tiplam () X fazoda yopi= bilishi uchun A'A bilishi zarur va kifoya. ta'rif. Agar x nu=taning atrofi bilgan O(x) mavjud bilib, O(x)A bilsa, u holda bunday x nu=ta (x) A tiplamning ichki nu=tasi deyiladi. Agar A tiplam ()fa=at ichki nu=talardan tuzilgan bilsa, u holda A tiplam ochi= tiplam deyiladi. 3.teorema. A tiplam () X fazoda ochi= bilishi uchun uning tildiruvchi bilgan SA tiplam X metrik fazoda yopi= bilishi zarur va kifoya. ta'rif. Agar bilsa, u holda A tiplam () V tiplamda (V) zich deyiladi. Agar bilsa, u holda A tiplam () X metrik fazoning shamma joyida zich deyiladi. ta'rif. Agar ixtiyoriy B(x,r) uchun shunday B(x1,r1) mavjud bilib B(x1,r1) bilsa, u holda A tiplam () X metrik fazoning shech =aerda zich emas deyiladi. ta'rif. Agar x nu=ta atrofi O(x) da A tiplamda yotuvchi va A tiplamda () yotmaydigan x nu=talar bilsa, u holda bunday x (xX) nu=ta A tiplamning chegaraviy nu=tasi deyiladi. 3. Masalar yechish. 1.masala. Agar Axm, xi, i, i bilsa, u holda A tiplam m fazoda yopi= biladimi? yechish. A' tiplamdan ixtiyoriy xo olaylik. U holda 1. teoremaga asosan ixtiyoriy nN uchun xnxn1, xnxo va ixtiyoriy nN uchun biladigan xn ketma-ketlik (xnA) mavjud. Ixtiyoriy nN uchun i da bilgani uchun shar =anday uchun shunday ioio() mavjud bilib iIo bilganda n1,2,… (1) biladi. Lekin iN bilib n da . Shuning uchun (1) da n da limitga itib ni shosil =ilamiz (iio) yani i da . Bu esa xo nu=taning xoA ekanligini va 2.teoremaga asosan A ...