Minorlar va algebraik to'ldiruvchilar

Minorlar va algebraik tuldiruvchilar Reja: 1. n-tartibli determinantning (k n) k-tartibli minori va qo'shimcha minor. 2. Algebraik tuldiruvchi. 3. Determinantlarni k-tartibli minorlar bo'yicha yoyish. Laplas teoremasi. 4. Misollar. Tartibi 3 dan yuqori bo'lgan determinantlarni hisoblash uchun tayin bir formula mavjud emas. Ularni kupchilik xollarda tartibi pasaytirib hisoblanadi. Buning uchun esa bizga minor va algebraik tuldiruvchi tushunchalari kerak bo'ladi. Faraz kilaylik n -tartibli D determinant berilgan bulsin. Undagi k ta satr va k ta ustunini ajratib ularning kesishish joyidagi elementlaridan determinantdagi tartibda olib k-tartibli determinant tuzsak bu determinantga D determinantning k-tartibli minori deyiladi. Shu ajratilgan satr va ustunlarni uchirib, kolgan joydagi elemetlardan determinantdagi tartibda olib n-k -tartibli determinant tuzsak unga k-tartibli minorga mos qo'shimcha minor deyiladi. Masalan: ushbu n-tartibli determinantdagi 1,2, ,k satrlari va 1,2, k ustunlarini ajratib k-tartibli M minor va n-k-tartibli qo'shimcha M' minor tuzsak u kuyidagicha bo'ladi Agar kk1 bulsa, birta eleientga (masalan, aijkM ga) ega bulamiz.Uning qo'shimcha minorini M'i j bilan belgilaymiz. +ushimcha minor M' ning uchirilgan satrlari i1 , i2 ,, ik va ustunlar j1 j2 , , jk nomerlarining (-1) ning darajasidagi yiindisiga kupaytmasiga M minorga mos algebraik tuldiruvchi deyiladi. Agar biz M ga mos algebraik tuldiruvchini A bilan belgilasak, u holda i1 + i2 ++ ik+ j1+ j2+ + ,jk Ak(-1) M' bo'ladi. Xususiy holda Mk ai j bulsa, Ai j k(-1) i+j M'i j bo'ladi. Misol. minoriga mos algebraik tuldiruvchisi kuyidagicha yoziladi: . Shu determinantdagi a43 elementning algebraik tuldiruvchisi dan iborat bo'ladi. Endi ushbu teoremani isbotlaymiz. 1-teorema. D determinantdagi M minorning istalgan xadini unga mos algebraik tuldiruvchining istalgan xadiga kupaytirsak, D determinantning xadi hosil bo'ladi, yani MA ning istalgan xadi D ning xadidan iboratdir. Isboti. +uyidagi ikki xolni karaymiz. 10-xol. M minor D determinantning yuqori chap burchagida, qo'shimcha minor esa kuyi ung burchagida joylashgan bulsin: Bu holda M ning algebraik tuldiruvchisi Ak(-1)1+2+ +k+1+2+ +k M' k M'. M ning istalgan xadi (1) ko'rinishga ega. Bunda Ak M' ning istalgan xadi esa (2) ko'rinishga ega. Bunda (1) va (2) ning kupaytmasi (3) D ning xadi bo'ladi. Chunki unda n ta kupaytuvchi bo'lib D ning xar bir satri va ustunidan birtadan element olingan va kp+q , chunki , ,, , k lar k+1,k+2 ,k+3 ,,n lardan kichik bo'lgani uchun ular bilan inversiya tashkil kilmaydi. 20-xol. M minor D ning k ,k , ,kr satrlari va l1, l2 ,, lr ustunlarini ishgol kilsin va k1 k2 ...