Muavr formulasi. Kompleks sondan ildiz chiqarish

Muavr formulasi. Kompleks sondan ildiz chiqarish Reja: 1. Muavr formulasi. 2. Kompleks sondan n - darajali ildiz chiqarish. 3. Kompleks sondan kvadrat ildiz chiqarish. Oldingi ma'ruzada biz trigonometrik shaklda berilgan ikkita kompleks sonlarning ko'paytmasi bilan tanishgan edik. Endi bu tushunchani umumlashtiraylik.Haqiqatan, n ta z1=r1(cos1+isin1 ), z2= r2 (cos2 +isin2 ), zn=rn (cosn +isinn) kompleks sonlar ko'paytmasini quyidagicha hosil qilamiz: z1z2zn=r1r2rn(cos(1+2++n)+isin(1+2++n)) (1) dagi zi=ri(i=), va z1z2zn=r1r2rn tengliklardan z1z2zn=z1z2zn (2) tenglik hosil bo'ladi. Agar (1) da r1=r2==rn=r va 1=2==n= bo'lsa, u holda z1=z2==zn=z bo'lib, (1) va (2) lardan zn=(r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn) (3) formula kelib chiqadi. (3) formulani Muavr formulasi deyiladi. (3) dan ko'rinadiki, z=r(cos+isin) ko'rinishdagi kompleks sonni n-darajaga ko'tarish uchun uning modulini n darajaga ko'tarib, argumentini esa n marta orttirish lozimligi. Misol. Agar n=4k+r bo'lsa, u holda in=ir bo'ladi. ta'rif. a+vi kompleks sonning p-darajasi ildizi deb, ushbu (x+ui)n=a+vi (4) tenglikni qanoatlantiruvchi x+yi songa aytiladi va uni x+ui= (5) ko'rinishda yoziladi. Aytaylik, a+vi=g(sos+isin), x+yi=(cos+isin) (6) bo'lsin. U holda (4)ni (6)ga ko'ra ((cos+isin))n= r(cos+isin) (7) ko'rinishda yoza olamiz. Muavr formulasiga asosan (7) dan n (cosn+isinn) = r(cos+isin) (8) ni hosil qilamiz. Trigonometrik shakldagi kompleks sonlarning tengligidan n=g, = va n-=2k (kZ), = kelib chiqadi. va larning bu qiymatlarini (6)ga qo'yib x+yi=(cos+isin)= (9) yoki (5) va (9) ga asosan (10) formulani hosil qilamiz. (10) formulada k ixtiyoriy butun son, lekin k uchun k=0,1,2,,(n-1) qiymatlar olinadi. arifmetik ildiz. (10) formulada g=1, =0 bo'lsa, a+vi=1 bo'lib, u (11) ko'rinishni oladi. n=3 uchun (11) formulani qaraylik. . 1) k=0, o=cos0+isin0=l+i0=l, o=1; 2) k=l, 1= 3) k=2, 2= Endi algebraik shakldagi kompleks sondan chiqarilgan kvadrat ildizni algebraik shaklda izlaymiz. ta'rif. a+vi kompleks sondan chiqarilgan kvadrat ildiz deb, ushbu (x+ui)2=a+vi (13) tenglikni qanoatlantiruvchi x+yi kompleks songa aytiladi va uni ko'rinishda belgilanadi. ta'rifga ko'ra. x+ui= (14) bo'ldi. (13) dan x2+2xyi+y2i2=x2-y2+2xyi=a+vi tenglikni yoza olamiz. Algebraik shakldagi kompleks sonlar tengligidan: (15) ni yoza olamiz, (15) dagi tengliklarning har birini kvadratga ko'tarib, keyin qo'shaylik va malum amallarni bajaraylik: x4+2x2u2+u4=a2+v2, (x2+u2)2=a2+v2, x2+u2= x2+u2 musbat son, yani x2+u20 bo'lgani sababli x2+y2= bo'ladi. Demak, (16) sistemani hosil qilamiz. (16) sistemadagi tengliklarni qo'shib 2x2=a+, ni topamiz. (16) sistemadagi tengliklarni ayirib va malum amallarni bajarib ni topamiz. ko'rinishda yozamiz. (15) dan ko'rinadiki v0 bo'lsa, u holda ekanligi. Demak, v0 bo'lganda (17) bo'ladi. Agar v ...