Myobiusning sonli funksiyasi

Myobiusning sonli funksiyasi Nemis matematigi va astronomii myobius Avgust Fredinand (1790-1868) arifmetikaninng masalalari uchun katta ahamiyatga ega bo'lgan sonli funksiyani kiritdi. Bu funksiya quyidagicha ta'riflanadi. ta'rif: uchun (-tub son) ; ( lar tub son) bo'lganda : va gacha bo'lgan barcha uchun ning qiymatlari quyidagicha: Myobbiusning funksiyasi uchun quydagi teoremalar o'rinlidir: 1-Teorema. qisqa multiplikativ funksiyadir. Isbot: (ta'rifga ko'ra), bo'lganda ekanligin ko'rsatamiz 1) ( -tub son) bo'lganda bo'ladi, shuning uchun . 2) bo'lsin. Bu holda , bo'lsa, ( lar tub sonlar) (ta'rifga ko'ra). So'ngra, Demak, bo'ladi. Misol. 2-teorema. bo'lganda , yani natural sonning barcha bo'luvchilari bo'yicha olingan Myobius funksiyasining qiymatlarining yig'indisi nolga teng. Isbot: bo'lsin. Teoremani isbot qilishda ning faqat bo'luvchilaridan tuzilgan 1 tadan, 2 tadan, tadan tuzilgan kombinatsiya shakldagi bo'luvchilarini nazaga olish etarlidir, chunki boshqa hollarda Demak, Misol. uchun . 3-teorema. Har qanday qisqa multiplikativ funksiya uchun bo'lganda bo'ladi. Isboti: qisqa multiplikativ funksiyadir quyidagi xossaga ko'ra 2-Xossa Agar va qisqa multiplikativ funksiyalar bo'lsa, ham qisqa multiplikativ funksiya bo'ladi. Isbot: multiplikativ funksiyalar 1-xossaga asosan va bo'lsin; . Teorema isbot bo'ldi. U holda tub son uchun uchun. Demak, . Endi bu teoremani quyidag xususiy hollarga tatbiq qilamiz. a) . Bu holda va har qanday uchun ham bo'ladi. Shuning uchun ham, bo'lganda , bo'lganda bo'ladi. b) bu holda Bunda multiplikativlik xossasi keng manoda ham o'rinli bo'ladi : p=1 uchun esa Bu ayniyat Myobius va Yeyler funksiyalari orasidagi bog'lanishni ko'rsatadi . Nemis matematiklari Dedikind va Liuvillning sonli funksiyalarga doir qo'yidagi teskarilash formulasi o'rinlidir. 4-Teorema sonli funksiyalar qo'yidagicha bog'langan bo'lsin . (1) Bu holda Myobiusning funksiyasining funksiya orqali ifodalanadigan quyidagi teskarilash formulasi o'rinlidir : (2) Isboti: ni uchun qo'yidagicha yozish mumkin (1) dan (3) Bunda funksiya ning barcha bo'luvchilari bo'yicha olinadi . (3) ning har ikkala tomonini ga ko'paytirib , m ning barcha bo'luvchilari bo'yicha yig'indilari olinsa , quyidagi ifoda hosil bo'ladi : (4) lar ning shunday bo'luvchilariki ular uchun butun sondir .Shu sababli ni ning bo'luvchisi deb hisoblash mumkin .Demak , . Buni nazarga olib , (4) ni (3) dan foydalanib qo'yidagicha o'zgartirish mumkin ; (5) 2-Teoremaga asosan , xollardan tashqari uchun esa . Demak, (5) ning ung tomoni ga,chap tomoni esa (3) ga asosan ga teng bo'lib, bo'ladi . Teorema isbot bo'ldi. Endi Myobiusning teskarilash formulasidan quyidagi xususiy hollardan foydalanishi bilan tanishamiz . Bu holda (1) ga asosan ni (2) ga ko'ra ni hosil qilamiz . Shunday qilib , ayniyat hosil bo'ladi. Misol. bo'lganda, bu holda va teskarilash formulasiga asosan ayniyat hosil bo'ladi. ...