N - tartibli differentsial tenglamalarni yechish

N-tartibli differensial tenglamalarni yechish Reja: 1. n-tartibli differensial tenglamalarni tenglama tartibini pasaytirish yo'li bilan yechish. 2. n-tartibli birjinsli chiziqli differensial tenglamalar. 3. n-tartibli birjinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglamalar. 4. Xulosa. 1. Bizga quyidagi (1) yoki (2) ko'rinishdagi n-tartibli differensial tenglama berilgan bulsin. n-tartibli differensial tenglamalarni yechish usullaridan biri tenglama tartibini pasaytirish yo'li bilan yechishdan iborat. n - tartibli differensial tenglamalarning bazi muhim xususiy xollarini karaymiz. I. bulsin. Bu holda xam utgan darslardagidek ni ketma-ket n marta integrallab, berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Misol. tenglamani eching. Bu tenglamani ketma-ket integrallab, kuyidagiga ega bulamiz , u'=-c1x+c2=ctgx+c1x+c2 , . II. (1) tenglamada nomalum funksiya va uning dastlabki bir necha tartibdagi hosilalari katnashmasin, yani . Bu holda almashtirish natijasida berilgan tenglamaning tartibi n-k bo'ladi, yani Misol. quyidagi xu-u=0 tenglamani eching. u=R deb olamiz, u holda u=Rbuladi. Bu holda berilgan tenglama ko'rinishga keladi. Ravshanki, bu tenglamaning umumiy yechimi R=s1x bo'ladi. yuqoridagi almashtirishga asosan u=s1x bo'ladi va bu tenglamani ketma-ket integrallash natijasida kuyidagiga ega bulamiz: , , , . II. (1) tenglamada erkli o'zgaruvchi x katnashmasin, yani bulsin. almashtirish natijasida berilgan tenglamaning tartibi bir birlikka pasayadi, yani , , , 2. n-tartibli bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalar. Nomalum funksiya u va uning hosilalari birinchi darajada katnashgan (1) tenglama n-taritbli birjinsli bo'lmagan differensial tenglama deyiladi. Bundagi P1(x),,Pn(x) lar tenglamaning koeffitsiyentlari, q(x)-ozod xad deyiladi. Bu funksiyalar biror [a,b] da berilgan funksiyalardir. Agar q(x)=0 bulsa (1) dan (2) tenglama hosil bo'ladi va bu tenglama n-tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglama deyiladi. Biz utgan darslarda ikkinchi tartibli birjinsli chiziqli differensial tenglamalar ustida mufassal tuxtalib utdik. Ikkinchi tartibli birjinsli chiziqli differensial tenglamalarga bagishlangan teoremalarni (2) tenglama uchun umumlashtirib isbotsiz keltiramiz. Teorema 1. Agar u1(x) funksiya (2) ning yechimi bulsa s1u1 funksiya xam (2) ning yechimi bo'ladi. Teorema 2. Agar u1,u2 funksiyalar (2) ning yechimi bulsa, u holda s1u1+s2u2 xam (2) ning yechimi bo'ladi. Faraz kilaylik [a,b] kesmada funksiyalar berilgan bulsin. ta'rif 1.Agar shunday sonlar topilsaki, ularning kamida bittasi noldan farqli bo'lib, quyidagi tenglik bajarilsa, funksiyalar [a,b] kesmada chiziqli bog'liq deyiladi. ta'rif 2. Agar funksiyalar uchun tenglik fakat bo'lgandagina bajarilsa, funksiyalar [a,b] kesmada chiziqli erkli deyiladi. funksiyalar (2) tenglamaning yechimlari bulsin. quyidagi funksional determinant Vronskiy determinanti deyiladi. Teorema 3. Agar (2) tenglamaning yechimlari [a,b] kesmada chiziqli bog'liq bulsa, u holda x[a,b] da W(x)=0 bo'ladi. Teorema 4. Agar biror x0[a,b] nuqtada W(x0)=0 bulsa yechimlar chiziqli bog'liq bo'ladi. Teorema 5. quyidagi W(x)=W(x0)e formula urinlidir, bunda x0[a,b] (xuddi ikkinchi tartibli differensial ...