Natural sonlar sistemasi. Matematik induksiya prinsipi

Natural sonlar sistemasi. Matematik induksiya prinsipi Reja: 1. Sonlar sistemasini ko'rish tushunchasi. 2. Natural sonlar sistemasi. 3. Peano aksiomasi. 4. Matematik induksiya prinsipi. Biz algebraik sistemalar mavzusini urganganimizda uning to'plami istalgan elementlardan tuzilgan bo'lishini kurdik. Agar karalayotgan sistemalarning asosiy to'plami elementlari sonlardan iborat bulsa, u holda bunday sistemalar odatda sonli sistemalar deyiladi. Mazkur ma'ruzada biz natural sonlar sistemasini urganamiz. Sonli sistemalarni іurishning konstruktiv va aksiomatik usullari mavjud. Bu usullar to'plam tushunchasiga asoslangan. Konstruktiv usulda іurilayotgan sistema oldindan malum hisoblangan tushunchaga asoslanib kuriladi. Sonli sistemalarni aksiomatik usulda ko'rishda esa xar bir sistemaning asosiy xossalari aksiomalar yordamida beriladi. Mazkur mavzuda natural sonlar sistemasining aksiomatik usulda qurilishini urganamiz. Buning uchun boshlang'ich munosabat sifatida v element a elementdan bevosita keyin keladi munosabati va bu munosabat uchun ґrinli bґlgan aksiomalar sistemasini olamiz. ta'rif. Biror bush bґlmagan N to'plamning a va v elementlari uchun v element a elementdan bevosita keyin keladi munosabati urinli bo'lib, N to'plam elementlari uchun quyidagi turtta aksiomalar bajarilsa, u holda N to'plamning elementlariga natural sonlar deyiladi: 1) Xech qanday natural sondan keyin kelmaydigan 1 soni mavjud (agar a dan bevosita keyin keladigan elementni a desak, u holda a1 ko'rinishda yoziladi); 2) Istalgan natural a son uchun undan bevosita keyin keladigan natural son yagonadir, yani (a, vN)(a=v)=(a=v); 3) 1 sonidan boshqa ixtiyoriy natural son bitta va fakat bitta natural sondan keyin keladi, yani (a, vN)(a=v)=(a=v); 4) Agar natural sonlar to'plamining ixtiyoriy M to'plamostisi: a) 1 ni o'z ichiga olsa; v) Ixtiyoriy a elementining M da bo'lishidan a ning xam M da bo'lishi kelib chiksa, u holda M to'plamosti N natural sonlar to'plami bilan ustma-ust tushadi, yani (MN)((lM)(aM=aM))=M=N (induksiya aksiomasi) bo'ladi. yuqoridagi ta'rifdagi aksiomalarni dastlab Italiya matematigi Peano (1858-1932) taklif etgani uchun ularni Peano aksiomalari deb yuritiladi. Natural sonlar sistemasiga kuyidagicha ta'rif berish mumkin [2 ning 119 betida]: ta'rif. qo'shish va ko'paytirish amallari aniqlangan 0 va 1 elementlari kiritilgan N to'plam elementlari uchun quyidagi shartlar (aksiomalar) urinli bulsa, u holda N1= agebraga natural sonlar sistemasi deyiladi: (nN) n+10, yani 0 elementni N ning xar qanday n elementi va 1 ning yig'indisi sifatida ifodalash mumkin emas; (m,nN) m+l=n+l=m=n yani qo'shish amali bo'yicha 1 dan chapda keluvchi xech qanday element yuk; (mN) m+0=m, yani 0 element qo'shish amaliga ko'ra ung neytral element; (m,nN) m+(n+l)=(m+n)+l yani qo'shish amali kuchsiz, assotsiativ shaklda bo'ladi; (mN) m0=0; (m,nN) m(n+l)=mn+m yani ko'paytirishning qo'shishga isbatan kuchsiz distritutiv shakli bo'ladi; Agar MN bo'lganda: a)0M, b) nM=n+lM, u holda M=N ...