O'lchovli funksiyalar

O'lchovli funksiyalar Reja: 1. Zaruriy tushunchalar. 2. Asosiy teoremalar 3. Masalalar yechish. O'lchovli Ye to'plamda berilgan f(x) funksiya va ixtiyoriy aR1 son uchun Ye(fa)xE : f(x)a to'plam o'lchovli bo'lsa, u holda f(x) Ye to'plamda o'lchovli funksiya deyiladi. Agar xE,f(x)0 bo'lsa, u holda Ye to'plamda berilgan f(x) funksiya deyarli xamma joyda chekli deyiladi. Agar bo'lsa, u holda fn(x) funksiyalar ketma-ketligi Ye to'plamda f(x) funksiyaga deyarli xamma joyda ya=inlashuvchi deyiladi. Agar ixtiyoriy 0 uchun bo'lsa, u holda fn(x) funksiyalar ketma-ketligi Ye to'plamda berilgan f(x) funksiyaga o'lchov bo'yicha yaqinlashadi deyiladi. Agar f(x) va (x) funksiyalar Ye o'lchovli to'plamda berilgan bo'lib xE: f(x)(x)0 bo'lsa, u holda f(x) va (x) funksiyalar Ye to'plamda ekvivalent deyiladi va f(x)∾(x) deb belgilanadi. 2. Asosiy teoremalar 3.1.Teorema Agar f(x) funksiya Ye to'plamda o'lchovli bo'lsa, u holda bu funksiya Ye to'plamning o'lchovli kism to'plamida o'lchovli bo'ladi. 3.2.Teorema Agar f(x)va g(x) funksiyalar Ye to'plamda o'lchovli bo'lsa,u holda funksiyalar Ye to'plamda o'lchovli bo'ladi. 3.3.Teorema Agar o'lchovli va deyarli xamma joyda chekli fn(x) funksiyalar ketma-ketligi Ye to'plamning deyarli xamma joyida f(x) funksiyaga yaqinlashsa, u holda bu f(x) funksiya Ye to'plamda o'lchovli bo'ladi. 3.4.Teorema Agar o'lchovli funksiyalar fn(x) ketma-ketligi Ye to'plamning deyarli xamma joyida f(x) funksiyaga yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlik shu f(x) funksiyaga o'lchov bo'yicha yaqinlashadi. 3.5.Teorema (F.Riss). O'lchov bo'yicha f(x) ga yaqinlashuvchi xar qanday fn(x) funksiyalar ketma-ketligidan shu f(x)ga deyarli xamma joyda yaqinlashuvchi kismiy ketma-ketliklarni (har xil bo'lishi mumkin) ajratish mumkin. 3.6.Teorema (D.F.Yegorov, 1911 yil). Agar o'lchovli funksiyalar fn(x) ketma-ketligi Ye to'plamning deyarli xamma joyida f(x) funksiyaga ya=inlashsa, u holda 0 uchun shunday Ye (Ye Ye) o'lchovli kismiy to'plam mavjud bo'lib kuyidagilar bajariladi: 1) 2)Ye to'plamda fn(x) ketma-ketlik f(x) funksiyaga tekis ya=inlashadi. 3.7.Teorema (N.N.Luzin,1913y). [a,b] kesmada berilgan f(x) funksiya o'lchovli bo'lish uchun 0 uchun [a,b] kesmada shunday (x) uzuluksiz funksiya mavjud bo'lib bo'lishi zarur va kifoya. 3.Masalalar yechish. 1-masala . f(x) funksiya Ye to'plamda (YeR1) o'lchovli. expf(x)ef(x) funksiya xam Ye to'plamda o'lchovli bo'ladimi? yechish. Agar a 0 son bo'lsa, u holda Eef(x)a to'plam Ye to'plam bilan ustma-ust tushadi. Bu holda f(x) funksiya Ye da o'lchovlidir. Agar a0 bo'lsa, u holda Eef(x)aEf(x)lna bo'lib, Ef(x)lna o'lchovli to'plam bo'lganidan, ta'rifga asosan f(x) funksiya Ye to'plamda o'lchovli bo'ladi. Bu holda xam ef(x) funksiya Ye da o'lchovli. Demak ef(x) funksiya Ye to'plamda o'lchovli bo'ladi. 2-masala. [0,1] kesmada o'lchovli bo'lgan F(x) funksiya fa=at bitta nuqtada uzluksiz bo'lishi mumkinmi? yechish. Faraz =ilaylik f(x)xD(x) bo'lib, bunda D(x) Dirixle funksiyasidan iborat bo'lsin, yani x[0,1] da 1, x-ratsional nuqtada D(x) 0, x-irratsional ...