Operatsion xisob. Boshlangich funksiya va uning tasviri

Operatsion hisob. boshlang'ich funksiya va uning tasviri Reja: 1. boshlang'ich funksiya yoki original, tasvir, 2. Laplas operatori yoki almashtirishi. Tayanch iboralar: boshlang'ich funksiya yoki original, tasvir, Laplas operatori yoki almashtirishi. Operatsion hisob amaliy matematik analiz metodlaridan biri hisoblanadi. Uning yordamida ko'p xollarda mexanika, elektronika, avtomatik hamda fan va texnikaning boshqa sohalarida uchraydigan masalalarni yechish soddalashadi. Operatsion hisob avtomatik sistemalarni hisob qilish va loyihalashga doir bir kator injenerlik metodlarining nazariy asosini tashkil etadi. Original va tasvir. TA'RIF : Barcha tR da aniqlangan va quyidagi xossalarga ega f(t) funksiyani original deb ataymiz. f(t) funksiya sonlar ukining istalgan chekli intervalida yo uzluksiz, yo chekli sondagi I tur uzilish nuqtalariga ega ; t0 va S0 0 sonlar mavjudki, barcha t lar uchun . Xar bir f (t) funksiyaga (1) funksiyani mos keltiramiz. P=S+i (SS0), F(p)-kompleks o'zgaruvchili funksiya bo'ladi. Yoki boshqacha qilib kabi yoziladi. F(p) funksiya f (t) funksiyaning tasviri, f (t) ga esa F(p) funksiyaning originali deyiladi. L ga esa Laplas operatori yoki Laplas almashtirishi deyiladi Laplas operatori originallar to'plamini, tasvirlar to'plamiga akslantiradi. L: f (t) F(p) yoki f (t) F(p). Savol tugiladi? Xar qanday funksiya xam original buladimi? Yuk, fakat yuqoridagi ta'rifning uchala shartini kanoatlantirgan funksiyalargina original bo'ladi. Masalan. funksiyalar original bulmaydi, chunki ular t=0 da II tur uzulishga ega. TYeORYeMA. (Tasvirning mavjudlik teoremasi). Xar qanday f (t) original uchun Rep=SS0 yarim tekislikda aniqlangan F(p) tasvir mavjuddir. Bu yarim tekislikning xar bir nuqtasida F(p) funksiya istalgan tartibli hosilaga ega. Bundan tashqari, agar Rep=S bulsa, u holda tasvir F(p)0. TYeORYeMA. (Original yagonalik teoremasi). Agar F(t) ikkita f1(t) va f2(t) originalning tasviri bulsa, u holda bu originallar ular uzluksiz bo'lgan barcha nuqtalarda o'zaro teng buladilar. Xossa 1. Originalning songa kupaytmasining tasviri, tasvirning bu songa kupaytmasiga teng, yani agar f (t) F(p) bulsa, sf (t) sF(p) bo'ladi. Xossa 2. Bir nechta original algebraik yig'indisining tasviri bu originallar tasvirlarining algebraik yig'indisiga teng, yani agar f1 (t) F1(p), f2 (t) F2(p) bulsa, u holda f1 (t) f2 (t) F1(p) F2(p) bo'ladi. Lemma: Agar z=x+iy kompleks son uchun, Rez=x0 va b haqiqiy o'zgaruvchi bulsa, u holda bo'ladi. Ana shu lemmadan foydalanib Xevisayd funksiyasi 0(t) ning tasvirini topamiz. 0(t)= Xevisayd funksiya original funksiya ta'rifini tula kanoatlantiradi. L f (t)= L 0(t)= 0(t) ko'rsatkichli funksiya ning tasvirini topamiz va uni original funksiya ko'rinishida tasvirlaymiz. L f (t)= L = Demak f (t)= Ana shundan foydalanib sinwt va coswt funksiyalar tasvirlarini topamiz. Eyler formulasini eslaymiz. Ularni ...