O'zgaruvchilari ajralgan va o'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar

o'zgaruvchilari ajralgan va o'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar Reja: 1. o'zgaruvchilari ajralgan differensial tenglamalar. 2. o'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar. 3. n o'lchovli birjinsli funksiya. 4. Birjinsli differensial tnglamalar. 5. Birjinsli differensial tenglamaga keltiriladigan tenglamalar. 6. Xulosa. 1. quyidagi = f1(x)f2(u) (1) ko'rinishdagi birinchi tartibli differensial tenglamani karaymiz. f2(y)0 faraz qilib (1) ni quyidagi =f1(x)dx (1') ko'rinishda yozamiz. (1') ni ikkita differensialning tengligi deb karasak, ulardan olingan anikmas integrallar bir-biridan uzgarmas kushiluvchi bilan farq qiladi, yani =f1(x)dx+s (*) (*) (1) tenglamaning umumiy integrali bo'ladi. (1') tipdagi M(x)dx+N(u)du =0 (2) differensial tenglama o'zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama deyiladi. Bu tenglamaning umumiy integrali yuqorida isbotlaganimizga ko'ra M(x)dx+N(u)du=s bo'ladi. Misol. xdx+udu=0 xdx+udu=s1 , =s1 , x2+u2=s2 , s2=2s1 Berilgan tenglamaning umumiy integrali x2+u2=s2 bo'lib, markazi koordinata boshida bo'lgan, radiusi s ga teng bo'lgan kontsentrik aylanalar oilasidan iborat. 2. quyidagi M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy =0 (3) ko'rinishdagi tenglama o'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi. Bu tenglamaning ikkala tomonini N1(y)M2(x)0 ifodaga bo'lish yo'li bilan uni o'zgaruvchilari ajralgan tenglamaga keltirish mumkin. =0 yani, (2) ko'rinishdagi tenglamaga ega bulamiz. Misol. 1) quyidagi y'=xy+x+y+1 tenglamaning umumiy yechimi topilsin. Berilgan tenglamani =x(u+1)+(u+1) =(x+1)(u+1) ko'rinishda yozib olamiz. Bu tenglama o'zgaruvchilari ajraladigan tenglamadir. u-1 deb faraz qilib umumiy yechim hosil bo'ladi. 2) =- tenglamani eching. Bu tenglama o'zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo'lib, o'zgaruvchilarni ajratib, integrallaymiz. =- umumiy yechim hosil bo'ladi. 3. Birjinsli differensial tenglamalar. Agar ning xar qanday qiymatida ayniyat urinli bulsa, f(x,y) funksiya x va u o'zgaruvchilarga nisbatan n o'lchovli birjinsli funksiya deyiladi. Misollar. 1) f(x,y)=xy-y2 funksiya ikki o'lchovli birjinsli funksiya, chunki , n=2 2) f(x,y)= funksiya nol o'lchovli birjinsli funksiya, chunki f(x,y), n=0 y'=f(x,y) (1) differensial tenglamada f(x,y) funksiya x va u ga nisbatan nol o'lchovli birjinsli funksiya bulsa, (1) tenglama birjinsli differensial tenglama deyiladi. Birjinsli differensial tenglamani kuyidagicha echamiz: (1) tenglamadagi f(x,y) funksiya nol o'lchovli birjinsli funksiya bo'lgani uchun f(x,y)= f(x,y) bo'ladi. Bu ayniyatda deb olsak f(1, ) = f(x,y) bo'ladi. Bu holda (1) tenglama = f(1, ) (1') ko'rinishga keladi. o'zgaruvchilarni almashtiramiz =u , y=ux , y'=u'x+u bo'ladi. y, y' larni (1') ga kuysak, kuyidagiga ega bulamiz: u'x+u=f(1,u)=f(1,u)-u +s Integraldan sung u o'rniga kuysak (1') tenglamaning umumiy integrali hosil bo'ladi. Misol. (x2-u2)dx+2xydy =0 tenglama eching. Bu tenglamani y' ga nisbatan echsak , kurinib turibdiki, nol o'lchovli birjinsli funksiya. Demak, berilgan tenglama birjinsli differensial tenglama ekan. uzga-ruvchilarini almashtiramiz: =u , y=ux , y'=u'x+u. Topilganlarni berilgan tenglamaga kuysak, kuyidagiga ega bulamiz: u'x+u= +, bundagi u o'rniga ni kuysak, x(1+)=s x+=s x2 +u2 =sx hosil bo'ladi. x2 +u2 ...