Potentsialli maydon. Potentsiallilik shartlari. Potentsialli maydon uchun chiziqli

Potentsialli maydon. Potentsiallilik shartlari. Potentsialli maydon uchun chiziqli Reja: Potentsialli maydon. Gamilton operatori. Laplas operatori. T A ' R I F : Agar vektor maydonning uyurmasi sohaning xamma nuqtalarida nolga teng bulsa, bu maydon shu sohada potentsialli (yoki gradientli yoki uyurmasiz) maydon deyiladi. Potentsialli maydonning ta'rifiga ko'ra maydonning xar bir nuqtasi uchun rot(M)= = bo'ladi, yani quyidagi ayniyatlar urinli bo'ladi: (9.1) Demak, (9.1) shartlar (ayniyatlar)ning bajarilishi vektor maydonning potentsiallilik shartlari bo'ladi. T A ' R I F : Gradienti (x,u,z) vektor maydonni vujudga keltiruvchi u(x,u,z) skalyar funksiya shu vektor maydonning potentsialli funksiyasi deyiladi. Demak, potentsialli maydon gratu= munosabat bilan ifodalanadi, bunda bo'lib, shu bilan birga rot= yoki rotgratu= M i s o l : Ushbu maydon potentsialli maydon bo'lishi yoki bulmasligini tekshiring. Ye ch i sh : R=x2-2uz, Q=u2-2xz , R=z2-2xu bo'lgani uchun bu yerdan xususiy hosilalarni topamiz. Bu yerdan yani (9.1) shartlar bajariladi, shuning uchun berilgan maydon potentsialli maydondir. Agar fazoviy soha bir boglamli bulsa, u holda potentsialli maydondagi chiziqli integral integrallash yo'liga bog'liq bulmasdan, balki shu yulning boshlang'ich A hamda oxirgi V nuqtalarining koordinatalariga bog'liq bo'ladi va u(x,u,z) funksiyaning shu nuqtalardagi orttirmasiga teng bo'ladi, yani (9.2) bu yerda AV yul - A(xA, uA, zA) nuqtadan V(xV, uV, zV,) nuqtagacha ixtiyoriy integrallash yo'li. Odatda bunday yul tarzida AVSD sinik chiziq olinadi, uning AS, SD va DV qismlari koordinatalar ukiga parallel. Bu holda potentsialni hisoblash formulasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi : bunda A(x0, u0, z0), S(x0, u0, z0), D(x, u, z0), B(x, u, z) Agar potentsialli maydon kuch maydoni bulsa, u holda bunday maydonda nuqtani kuchirishda bajarilgan ish maydonning bir A nuqtasidan ikkinchi V nuqtasiga kuchirish yo'liga bog'liq bulmaydi va (9.2) formula bo'yicha hisoblanishi mumkin. Potentsialli vektor maydonda bir boglamli sohada yotgan xar qanday L yopiq egri chiziq bo'yicha tsirkulyatsiya nolga teng. Kuch maydoni uchun bu maydon kuchlarining xar qanday L yopiq egri chiziq bo'yicha bajargan ishi nolga teng bo'ladi. Vektor analizining grad, div, rot differensial amallarini simvolik vektor yordamida (Nabla vektor - Gamilton operatori) ifodalash kulaydir: Bu vektorni u yoki bu (skalyar yoki vektor) kattalikka kullanishni bunday tushunmok kerak : vektor algebrasi qonunlariga ko'ra bu vektorni berilgan kattalikka ko'paytirish amalini bajarish lozim, sungra simvollarning bu kattalikka ko'paytirishni tegishli hosilani topish sifatida qarash kerak. Bu vektor bilan amallar bajarish qoidalarini karab chiqamiz: 1) nabla - vektorning u(M) skalyar funksiyaga kupaytmasi shu funksiyaning gradientini beradi : ==gradu Demak, grad u = u 2) nabla - vektorning vektor - funksiya bilan skalyar ...