Sirt integrallari

Sirt integrallari Reja: Birinchi tur sirt integrali. Birinchi tur sirt integralining asosiy xossalari. Birinchi tur sirt integralini hisoblash. Ikkinchi tur sirt integrali. Ikkinchi tur sirt integralini hisoblash. Faraz kilaylik, sillik sirtda f(x,y,z) funksiya berilgan bulsin (agar tekislikning xar bir nuqtasida vaziyati nuqtadan nuqtagautganda uzluksiz uzgaradigan urinma tekislik mavjud bulsa, sirtsillik deyiladi). Bu sirtni yuzlari i ga teng bo'lgan n ta ixtiyoriy kismga bulamiz. Xar bir kism sirtda Mi(xi,yi,zi) nuqtani tanlab olamiz va quyidagi yig'indini tuzamiz: (1) (4.1) ko'rinishdagi yig'indi sirtda f(x,y,z) funksiya uchun birinchi tur sirt integrali yig'indisi deyiladi. T A ' R I F : i yuzchalarning eng katta d diametrining uzunligi nolga intilgandagi (4.1) integral yig'indining limiti f(x,y,z) funksiyaning sirt bo'yicha olingan birinchi tur sirtintegral deyiladi va bunday belgilanadi: , bunda - integrallash sohasi. Agar sirtda f(x,y,z)1 bulsa, u holda bo'ladi, bunda S- sirtning yuzi, yani birinchi tur sirt integrali yordamida sirtlarning yuzini hisoblash mumkin. Endi birinchi tur sirt integralining asosiy xossalarini isbotsiz keltiramiz: 1-xossa. Doimiy kupaytuvchini I tur sirt integrali ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin, yani , bunda k - uzgarmas son. 2-xossa. Bir nechta funksiyalarning algebraik yig'indisidan olingan sirt integrali kushiluvchilardan sirt bo'yicha olingan integralning algebraik yig'indisiga teng: 3-xossa. Agar integrallash sohasi bir nechta kismga bulinsa, u holda butun sirt bo'yicha olingan sirt integrali xar bir kism bo'yicha olingan sirt integrallari yig'indisiga teng bo'ladi, yani , Endi birinchi tur sirt integralini hisoblash bilan shugullanamiz. Birinchi tur sirt integralini hisoblash uni karrali integralga keltirish bilan amalga oshiriladi. sirt z=z(x,y) tenglama bilan berilgan bulsin, bunda z(x,y) funksiyaning o'zi va uning xususiy hosilalari xu yopiq sohada uzluksiz bo'lib, bu soha sirtning xar bir nuqtasida uzluksiz bulsin. Bu sirtni i (i=) yuzli n ta bo'lakka bo'linish ini hosil kilamiz. Sirtning xar bir bo'lagini i yuzi kuyidagiga teng: , bu karrali integralga o'rta qiymat haqidagi teoremani kullab, ushbuni hosil kilamiz: , (2) bunda Si - i sirt kismining Oxu tekislikdagi proyeksiyasining yuzi, xi , ui - Si sohadagi birorta nuqta i kism sirtdagi xi , ui , zi (xi , ui) koordinatali nuqtani Mi bilan belgilaymiz, bunda (xi , ui ) - (2) formuladagi nuqta. sirtda f(x,u,z) funksiya uchun integral yig'indini tuzamiz: (3) Bu tenglikning ung kismida xu sohada uzluksiz bo'lgan funksiyadan olingan karrali integral uchun integral yig'indi joylashgan. Shuning uchun (3) tenglama ung kismining limiti birinchi tur sirt integraliga teng: (3) tenglikda i diametrlardan eng kattasining nolga intilgandagi limitiga utib, kuyidagini hosil kilamiz: = (4) (4) formula sirt bo'yicha sirt integralining sirtning ...