Soxaning saqlanish prinsipi

sohaning saqlanish prinsipi Reja: 1. sohaning saqlanish prinsipi. 2. Modulning maksimumi prinsipi. 3. Shvarts lemmasi. 4. Kompaktlik prinsipi 5. Riman teoremasi. sohaning saqlanish prinsipi. Kompleks analiz kitobining 3-bobida elementar golomorf funksiyalar va ular yordamida bajariladigan akslantirishlar urganilgan edi. Endi ixtiyoriy golomorf funksiya yordamida bajariladigan akslantirishni karaymiz. Bunda sohaning aksi yana soha bo'lishini tasdiklovchi quyidagi teorema muhimdir: Faraz kilaylik, funksiya sohada ℂ) berilgan bulsin. Teorema. Agar funksiya sohada golomorf bo'lib, bulsa u holda sohaning aksi xam soha bo'ladi. ◄ Aytaylik, funksiya ℂz) sohada golomorf bo'lib, u sohani to'plamga ℂw) akslantirsin: 1) ochiq to'plam bo'lishini isbotlaymiz. Aytaylik, nuqta to'plamning ixtiyoriy nuqtasi bo'lib, nuqta esa uning asllaridan (proobrazlaridan) biri bulsin: . soha bo'lgani uchun nuqtaning shunday atrofi topiladiki, u sohaning ichida joylashgan bo'ladi va da nuqtaning dan boshqa asli bulmaydi. Chunki, nuqtaning biror atrofida, aksi bo'lgan boshqa nuqtalar cheksiz ko'p bulsa, bu nuqtalarda funksiyaning qiymatlari ga teng bo'lib, yagonalik teoremasiga ko'ra, bo'lishiga zid bo'lib koladi. yopiq doira ning chegarasi da funksiya uzluksiz bo'ladi. Binobarin, da bu funksiyaning moduli uzining minimum qiymatiga erishadi. Uni bilan belgilaylik: (1) Bunda musbat son bo'ladi: . Chunki, bulsa, u holda da shunday nuqta topilib koladiki, bo'ladi. Bu esa da nuqtaning dan boshqa asli bulmasligiga ziddir. miqdordan foydalanib, ushbu doirani olamiz. Endi bo'lishini kursatamiz. Ravshanki, (2) tenglama doirada kamida bitta ildizga ega. Albatta, tenglamaning ildizi bo'ladi. (Malumki, nuqta (2) tenglamaning tartibli ildizi bulsa, unda (2) tenglamaning ildizlari soni ta hisoblanadi). Ixtiyoriy nuqtani olib, ushbu tenglamani karaymiz. (1) munosabatga ko'ra aylanada va bo'lishini etiborga olib, Rushe teoremasidan foydalanib quyidagi xulosaga kelamiz: Ushbu tenglamaning aylana ichida kancha ildizlari bulsa, tenglamaning xam shu aylana ichida shuncha ildizlari bo'ladi. Binobarin tenglama xech bo'lmaganda bitta ildizga ega. Uni deylik. Demak, . Bundan esa, doiraning xar bir nuqtasi funksiyaning ning biror nuqtasidagi qiymatidan iborat ekanligi kelib chikadi. Shunday qilib, to'plamdagi xar bir nuqta uzining biror atrofi bilan shu ga tegishli bo'lishini topdik: . Bu esa ning ochiq to'plam ekanini bildiradi. 2) boђlamli to'plam bo'lishini isbotlaymiz. to'plamga tegishli va ixtiyoriy nuqtalarni olaylik. Bu nuqtalarning sohadagi asllaridan biri mos ravishda va bulsin: Shartga ko'ra sohadan iborat. Demak, va nuqtalarni birlashtiruvchi va ga tegishli bo'lgan uzluksiz egri chiziq mavjud bo'ladi. funksiya uzluksiz bo'lganligi sababli, uning yordamida bajariladigan akslantirish funksiya egri chiziqni va nuqtalarni birlash-tiruvchi va ga tegishli bo'lgan uzluksiz egri chiziqka o'tkazadi. Bu esa ning boђlamli to'plam bo'lishini bildiradi. Shunday qilib, ning ochiq hamda boђlamli to'plam ekanligi kursatildi. Demak, -soha. ► Bu teorema sohaning saqlanish prinsipi deb yuritiladi. ...