To'plamlar nazariyasining elementlari

to'plamlar nazariyasining elementlari Reja: 1. Asosiy tushunchalar. 2. Asosiy teoremalar. 3. Masalalar yechish. 4. mustaqil yechish uchun masalalar. Agar A va V tiplam elementlari orasida izaro bir =iymatli moslik irnatilgan bilsa, A va V tiplamlar ekvivalent deyiladi yoki teng =uvvatli tiplamlar deyiladi. Ekvivalentlik ∾ deb belgilanadi, yani A∾V. Ikkita chekli A va V tiplamlardagi elementlar soni bir xil bilsa, bunday A va V tiplamlar ekvivalent yoki teng =uvvatli biladi. Shunday =ilib tiplamlarning teng =uvvatli (bir xil =uvvatlilik) tushunchasi chekli tiplamlar elementlar sonining bir xillik tushunchasining umumlashmasidan iborat. Ixtiyoriy A tiplamning =uvvatini yoki m(A) deb belgilaymiz. Chekli tiplam =uvvati tiplamni tashkil etuvchi elementlar sonidan iborat. Masalan: A=a1,a2,…,a23, =23, m(A)=23 Agar A tiplam N1,2,3,… natural sonlar tiplamiga ekvivalent bilsa, A sano=li tiplam deyiladi. Sano=li tiplamning =uvvatini sharf bilan belgilaymiz m(N)= yoki Natural sonlar tiplamiga ekvivalent bilmagan cheksiz tiplam sano=siz tiplam deyiladi. Teorema. [0,1] kesmadagi nu=talar tiplami sano=sizdir. Taif. [0,1] kesmadagi nu=talar tiplamiga ekvivalent bilgan tiplam kontinuum =uvvatli tiplam deyiladi. Kontinuum tiplam =uvvatini s sharf bilan belgilaymiz. U[0,1], m(U)c yoki s 2. Asosiy teoremalar. 1.1.teorema. (Kantor-Bernshteyn) Agar A tiplamning A1 =ism tiplami A1∾V bilib V tiplamning V1 =ism tiplami V1∾A bilsa, u sholda A∾V biladi. 1.2.teorema. Chekli yoki sano=li mi=doridagi chekli yoki sano=li tiplamlarning birlashmasi, yana chekli yoki sano=li tiplamdan iborat. 1.3.teorema. Agar A tiplamning elementlari chekli parametrlar bilan ani=langan bilib, shar biri bir-biriga boli= bilmagan sholda sano=li tiplamlar =iymatlarini =abul =ilsa, u sholda bunday tiplamning =uvvati m(A)= biladi. Bu teoremani =uyidagicha sham keltirish mumkin. 1.3A. teorema. Agar A tiplamning elementlari n parametr bilan ani=langan bilib, bularning shar biri bosh=asiga boli= bilmagan sholda sano=li tiplam =iymatlarini =abul =ilsa, yani bilsa, u sholda m(A)= biladi. 1.4.teoerema. Chekli yoki sano=li mi=dordagi kontinuum tiplamlarning birlashmasi yana kontinuum tiplamdan iborat. 1.4A.teorema. Щar =anday [a,b] segmentdagi nu=talar tiplami kontinuum =uvvatli tiplamdir. 1.5.teoerema. Agar A tiplamning elementlari sano=li parametrlar bilan ani=langan bilib shar biri bir-biriga boli= bilmasdan ikkita shar xil =iymatlarni =abul =ilsa, u sholda bunday A tiplam =uvvati m(A)s biladi. 1.6.teorema. Agar A tiplamning elementlari chekli yoki sano=li parametrlar tanlash bilan ani=langan bilib shar biri bosh=asiga boli= bilmagan sholda kontinuum =iymatni =abul =ilsa, u sholda bunday A tiplam =uvvati m(A)s biladi. 1.7.teorema. Uzluksiz funksiyalar tiplami kontinuum m(C[a,b])c 1.8.teorema. Faraz =ilaylik M ixtyoriy tiplami bilsin. Agar elementlari M ning shamma =ism tiplamlaridan iborat bilgan tiplam ℳ bilsa, u sholda ℳ ning =uvvati berilgan M tiplamning =uvvatidan katta biladi, yani m(ℳ)m(M). Demak, biz berilgan M ixtiyoriy tiplamdan =uvvati undan katta ...