Tor tebranishi tenglamasini Fure usulida yechimi

Tor tebranishi tenglamasini Fure usulida yechimi Reja: 1. o'zgaruvchilarni ajratish usuli 2. Xos qiymatlar, xos funksiyalar. o'zgaruvchilarni ajratish yoki Fure usuli kupgina matematik fizika tenglamalarini yechishda kullaniladi. Misol. Ushbu (1) tenglamaning u (0; t)=0, (2) , u (l; t)=0 (3) , u (x; 0)=f(x) (4) , ut=(x; 0)=(x) (5) chegaraviy shartlarni kanoatlantiruvchi u (x; t) yechimi topilsin. u (x; t)0 yechimni bittasi t ga, ikkinchisi x ga bog'liq funksiyalar kupaytmasi ko'rinishida izlaymiz va ularni keraklicha tartibda differensiallash mumkin deb hisoblaymiz. u (x; t)=X(x)T(t) (6) Kerakli xususiy hosilalarni topib (1) ga kuyamiz. X(x)T(t) =a2X(x)T(t) a2X(x)T(t) ga bulamiz. (7) Chap tarafda fakat t ga bog'liq , ung tarafda esa fakat x ga bog'liq differensial tenglamalar turibdi. Tenglik fakat shu holda urinli buladiki, ular biror uzgarmas songa teng bulsa. Shu uzgarmasni - bilan (0) bilan belgilaymiz. = - X+X=0 (8) , T+a2T=0 (9) Bu tenglamalarni umumiy yechimlari X(x)=Acosx + Bsinx (10) T(t)=C cosat + Dsinat (11) bu yerda A, B, C, D lar uzgarmaslar. Topilganlarni (6) ga kuyib, u (x; t)=( Acosx + Bsinx)( C cosat + Dsinat) ni hosil kilamiz. A va V uzgarmaslarni shunday tanlaymizki, natijada (2) va (3) shartlar bajarilsin.T(t)0 bo'lgani uchun 0=u (0; t)=A+B0 , 0=Acosl + Bsinl A=0, Bsinl=0, B0 bo'lishi kerak, aks holda A=0 ligidan X(x)=0u(x; t)=0 bo'ladi. sinl=0, = (12) (n=1, 2, 3, …) X(x)= sinx (13) bunga chegaraviy masalaning xos funksiyasi, ning qiymatlariga esa xos qiymatlar deyiladi. T(t)=Ccost+Dsint (14) (n=1, 2, …) un(x; t)= sinx(Cncost+Dnsint) Bu yerda xar bir n ning qiymati uchun , shu jumladan xar bir uchun (13) va (14) ifodalarni (1) tenglamalarni kuyib (2) va (3) shartlarni kanoatlantiruvchi yechimlarni hosil kilamiz, shuning uchun un(x; t) bilan belgilaymiz. u (x; t)= deb belgilash kiritamiz. U holda yechim u (x; t) (Cncost+Dnsint) sinx (16) ko'rinishda bo'ladi. Bu yechim xam (2) va (3) chegaraviy shartlarni kanoatlantiradi. Yana shu narsa kurinib turibdiki (16) yechim (1) differensial tenglamaning yechimi bo'ladi, fakat va fakat shu xoldaki Cn va Dn koeffitsentlar shunday bo'lishi kerakki (16) kator yaqinlashganda , uni ikki martadan x va t bo'yicha differensiallaganda xam hosil bo'lgan kator yaqinlashuvchi bo'lishi kerak. u (x; t) yechim (4) va (5) boshlang'ich shartlarni xam kanoatlantirishi kerak. Bu ishni biz Cn va Dn koeffitsentlarni tanlash orqali amalga oshiramiz. u (x; t) funksiya (4) va (5) boshlang'ich shartlarni kanoatlantirishi kerak. Birinchidan : t=0 da u (x; t)=f(x) bo'lishi kerak, f(x)= sinx (17) Agar f(x) (17) ko'rinishda buladigan bulsa, uni (0;e) oralikda Fure ...