Umumiy ko'rinishdagi tenglamalar sistemasi

Umumiy ko'rinishdagi tenglamalar sistemasi Reja: 1. Kroneker-Kapelli teoremasi. 2. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. Tayanch ibora va tushunchalar Sistema matritsasi, kengaytirilgan matritsa, Kroneker-Kapelli teoremasi, bir jinsli sistema, bosh o'zgaruvchilar, nomalumlarni yo'qotish, teskari qadam, Gauss usulining xususiyati, sistema birgalikda va aniqmas, sistema birgalikda emas, Gauss usulining Jardono modifikatsiyalashgan usuli. 1.Kroneker-Kapelli teoremasi.Ushbu (1) umumiy ko'rinishdagi, yani ta nomalumli ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo'lsin. Berilgan sistema nomalumlari koeffitsiyentlaridan A matritsani hamda bu matritsaga ozod hadlardan tuzilgan ustunni birlashtirib, ikkinchi V matritsani tuzamiz, yani bular ushbu ko'rinishshda bo'ladi. va matritsaga (1) sistemaning matritsasi, matritsaga sistemaning kengaytirilgan matritsasi deyiladi. Quyidagi teorema o'rinli. 1- teorema. (Kroneker-Kapelli teoremasi). Chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo'lishi uchun sistema matritsasi ning rangi sistema kengaytirilgan matritsasining rangiga teng bo'lishi zarur va etarlidir. Isbot. Zarurligi. (1) sistema birgalikda bo'lsin. uning yechimlaridan biri bo'lsin. Bu sonlarni sistemadagi nomalumlar o'rniga qo'yib, ta ayniyat hosil qilamiz. Bu ayniyatlar matritsaning oxirgi ustuni qolgan barcha ustunlarining mos ravishda koeffitsietlar bilan ko'paytmasidan olingan yig'indisi ekanligini ko'rsatadi. matritsaning har qanday boshqa ustuni matritsaga ham kiradi va shuning uchun u matritsaning barcha ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi. Aksincha, matritsaning har qanday ustuni matritsani ham ustuni bo'ladi, yani bu matritsaning ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi. Bundan va matritsalarning ustunlari sistemasi o'zaro ekvivalent ekanligi kelib chiqadi, shuning uchun bu matritsalarning rangi bir xil bo'ladi, yani kelib chiqadi. Yetarliligi. va matritsalar bir xil rangga ega bo'lsin. Bundan matritsa ustunlarining istalgan maksimal chiziqli erkli sistemasi matritsada ham maksimal chiziqli erkli sistema bo'lib qolishligi kelib chiqadi. Shunda qilib matritsa ustunlari sistemasi orqali matritsaning oxirgi ustuni chiziqli ifodalanadi. Demak, shunday sonlar majmui mavjud bo'ladiki, matritsaning bu sonlar bilan ko'paytirishdan olingan ustunlari yig'indisi ozod hadlardan iborat ustunga teng, yani sonlar (1) sistemaning yechimi bo'ladi, shunday qilib, va matritsalar ranglarining bir xilda bo'lishidan (1) sistemaning birgalikda bo'lishi kelib chiqadi. Teorema to'liq isbotlandi. Kroneker-Kapelli teoremasi yechim mavjud ekanligini tasdiqlaydi, lekin bu sistemaning barcha yechimlarini amalda topish uchun usulni bermaydi. Endi, ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning quyidagi qoidasini keltiramiz. matritsaning rangi matritsaning rangiga teng bo'lib, bo'lsin. Bunda son matritsaning chiziqli erkli satrlarining maksimal soniga teng bo'lib, nomalumlar soniga teng bo'lsa, u holda sistema tenglamalari soni nomalumlari soniga teng va uning determinanti noldan farqli bo'ladi, bunday sistemaning yechimi yagona bo'lib uni Kramer qoidasi bo'yicha topish mumkin bo'ladi. Endi matritsalarning rangi nomalumlar sonidan kichik, yani bo'lsin. Bu holda - tartibli minor noldan farqli bo'ladi. Sistema tenglamalarining har qaysisida nomalumli hadlarini tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkazamiz va bu ...