Uzluksiz funksiyalar va ularning xossalari

Uzluksiz funksiyalar va ularning xossalari Reja: 1. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi, argument va funksiya orttirmasi, 2. Funksiyani oralikda uzluksizligi, 3. Asosiy elementar funksiyalarning uzluksizligi, 4. Funksiyani nuqtada chap va ung tomondan uzluksizligi, 5. Funksiyaning uzilish nuqtalari, 6. I va II tur uzilish nuqtalari, 7. Kesmada uzluksiz funksiyalar va ularning xossalari. Tayanch iboralar: funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi, argument va funksiya orttirmasi, funksiyani oralikda uzluksizligi, asosiy elementar funksiyalarning uzluksizligi, funksiyani nuqtada chap va ung tomondan uzluksizligi, funksiyaning uzilish nuqtalari, I va II tur uzilish nuqtalari, kesmada uzluksiz funksiyalar va ularning xossalari. u=f(x) funksiya x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bulsin. T A ' R I F : u= f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agarda f(x)= f(x0) (1) shart bajarilsa. x=x0 ekanligini hisobga olib, (1) uzluksizlik shartini f(x)= f(x) yozish mumkin. Demak f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo'lishi uchun funksiya olish va limit olish amallarini o'rnini almashtirish mumkin bo'lishi kerak ekan. Amaliy masalalarda funksiya uzluksizligini ortirma tushunchasi orqali tekshirish kulay. Agar x nuqta x0 nuqta atrofidan olingan bulsa, x-x0 ayirima argument orttirmasi deyiladi va x kabi belgilanadi. Bu holda f(x1)- f(x0) ayirma funksiya orttirmasi deyiladi va f yoki u kabi belgilanadi. Demak ,x argumentning o'zgarishini, f esa funksiya o'zgarishini ifodalaydi. Agarda xx0 bulsa, u holda x0 bo'ladi. x=x0+x ekanligidan foydalanib, (1) uzluksizlik shartini f(x0+x)=f(x0) (2) ko'rinishida yozish mumkin. Bu shartni o'z navbatida f=f(x)-f(x0)= f(x0+x)-f(x0) ekanligidan foydalanib, f=0 ko'rinishda yozish mumkin. Demak f(x) funksiya uzluksiz bo'lishi uchun argumentning kichik x o'zgarishiga funksiyaning xam kichik f o'zgarishi mos kelishi kerak. Misol sifatida u=x2 funksiyaning xar qanday x0 nuqtada uzluksiz ekanligini (3) shart yordamida kursatamiz y=f= f(x0+x)-f(x0)=(x0+x)2-x02 Asosiy teorema: barcha asosiy elementar funksiyalar aniklanish sohasidagi xar bir x0 nuqta uzluksizdir. Bu teorema ni isbotsiz kabul kilamiz. TYeORYeMA: Agarda f(x) va g(x) funksiyalar x0 nuqtada uzluksiz bulsa, u holda f(x)g(x), f(x) g(x) funksiyalar xam bu nuqtada uzluksiz bo'ladi. agarda qo'shimcha ravishda g(x0)0 shart bajarilsa, f(x)g(x) nisbat xam x0 nuqtada uzluksizdir. Agarda U0=g(x0) nuqtada f(x) funksiya uzluksiz bulsa, f(g(x))=F(x) murakkab funksiya xam x0 nuqtada uzluksiz bo'ladi. Isbot: Teoremaning isboti limitlar xossalaridan va uzluksizlikning (1) shartidan kelib chikadi. Masalan, h(x)=f(x)g(x) funksiyaning x0 nuqtada uzluksizligini kursatamiz. Teorema shartiga asosan f(x)=f(x0), g(x)=g(x0) bo'lgani uchun h(x)= [f(x)g(x)]= f(x) g(x)= f(x)g(x)= h(x0) teoremaning kolgan kismini isboti talabalarga mustaqil ish bo'lib hisoblanadi. Asosiy terema va bu teoremadan quyidagi natija kelib chikadi. Natija: barcha elementar funksiyalar aniklanish sohasidagi xar bir nuqtada uzluksiz bo'ladi. T A ' R I F: u= f(x) funksiya biror chekli yoki ...