Xalqa va uning asosiy xossalari

halqa va uning asosiy xossalari Reja: 1. halqa tushunchasi. Yarim halqa. 2. Kommutativ halqa. 3. Sonlar halqasi. 4. halqaning sodda xossalari. halqa xam oldingi ma'ruzada urganilgan gruppa singari algebraning xususiy xoli. Gruppada biz bitta binar va bitta unar operatsiya bilan ish kurgan edik. Endi biz bush bo'lmagan A to'plam elementlari uchun ikkita binar (biz ularni ko'paytirish va qo'shish amali deb yuritamiz) va bitta unar operatsiya (aA element uchun a ga simmetrik element mavjudligi)ni urinli deb karaymiz. ta'rif. Agar A to'plamda qo'shish va ko'paytirish amallari aniqlangan bo'lib, quyidagi aksiomalar urinli bulsa, A1= algebraga yarim halqa deyiladi: 1. (a, v, sA) a+(v+s)=(a+v)+s; 2. (a, vA) a+v=v+a; 3. (a, v, xA) (a+x=v+x)=(a=v)(x+a=x+v)=(a=v); 4. (a, v, sA) a(vs)=(av)s; 5. (a, v, sA) (a+v)s=as+vs, s(a+v)=sa+sv. Agar bu ta'rifdagi aksiomalar bilan birgalikda yana (a, vA) uchun av=va tenglik xam urinli bulsa, u holda A1= yarim halqaga kommutativ yarim halqa deyiladi. Agar A to'plam chekli bulsa, u holda yarim halqa chekli, aks holda yarim halqa cheksiz deb yuritiladi. aA element uchun a+o=o+a=a bulsa, u holda o elementga A1 yarim halqaning nol elementi, aA uchun ae=ea=a bulsa, u holda e elementga yarim halqaning birlik elementi deyiladi. Masalan, N1= algebra yarim halqa bo'lib, ko'paytirish amaliga nisbatan neytral element 1 soni bo'ladi, qo'shish amaliga nisbatan neytral element mavjud emas. ta'rif. Agap o operatsiya aniqlangan A to'plamning ixtiyoriy ikkita a va v elementlari berilganda (aov)A bulsa, u holda A to'plam o operatsiyaga nisbatan yopiq deyiladi. Masalan, N to'plam qo'shish va ko'paytirish amallariga nisbatan yopiq bo'ladi, chunki N to'plamga tegishli ixtiyoriy ikkita natural sonlarning yig'indisi va kupaytmasi yana natural son bo'ladi. ta'rif. Agar A to'plam qo'shish va ko'paytirish amallariga nisbatan yopiq bo'lib, quyidagi shartlar bajarilsa, u holda A1= algebra halqa deyiladi: 1. - additiv gruppa; 2. - yarim gruppa; 3. (a, v, sA) a(v+s)==av+as, (v+s)a=va+sa. Agar A1 halqada (a, vA1) av=va tenglik berilsa, u holda bunday A1 halqaga kommutativ halqa deyiladi. Bu ta'rifda A1 halqaning elementlari sonlar bulmasligi xam mumkin. Agar A to'plamning elementlari sonlardan iborat bulsa, u holda quyidagi ta'rif urinli: ta'rif. Sonlar to'plamiga tegishli ixtiyoriy ikkita sonning yig'indisi, ayirmasi va kupaytmasi yana shu to'plamga tegishli, yani sonlar to'plami qo'shish, ayirish va ko'paytirish amallariga nisbatan yopiq bulsa, u holda bunday sonlar to'plamiga sonlar halqasi deyiladi. Masalan, algebra sonli halqa bo'ladi. Endi halqaning bazi bir sodda xossalarini karaylik. 10.A1 halqada yagona nol element mavjud.A1 halqadagi ixtiyoriy a element uchun yagona qarama-qarshi -a element mavjud. A1 halqada ...