Analitik funksiya tushunchasi

Analitik funksiya tushunchasi Reja: 1. Kirish 2. Analitik funksiya tushunchasi. Analitik funksiya tushunchasi. Biz avvalgi paragraflarda funksiyani analitik davom ettirish tushunchasi bilan tanishdik, yo'l bo'yicha davom ettirishning xossalarini o'rgandik. Ular kompleks analizda muhim o'rin tutadi. Analitik davom ettirish golomorf funksiyalarni umumlashtirishga - ko'p qiymatli analitik funksiya tushunchasiga olib keladi. Markazi nuqtada bo'lgan kanonik element berilgan bo'lsin. Bunda yaqinlashuvchi darajali qator yiђindisi (golomorf funksiya), esa shu qatorning yaqinlashish doirasi. nuqtadan chiqqan shunday yo'llarni qaraymizki, bu yo'llar bo'yicha elementni analitik davom ettirish mumkin bo'lsin. Bunday yo'llar to'plamini deylik. Agar elementni to'plamdagi har bir yo'l bo'yicha analitik davom ettirilsa, natijada kanonik elementlar to'plami hosil bo'ladi. (18-chizma). 1-ta'rif: Ushbu to'plam analitik funksiya deyiladi. Demak, analitik funksiyaning aniqlanishi uchun avvalo boshlanђich element ning berilishi, so'ng bu boshlanђich elementni analitik davom ettirish mumkin bo'ladigan yo'llarning berilishi kerak bo'lar ekan. Ayni paytda analitik funksiyaning aniqlanishi boshlanђich elementning tanlab olinishiga boђliq bo'lmaydi. Shuni isbotlaymiz ◄ Analitik funksiya da ixtiyoriy elementni olaylik. Unda analitik funksiya ta'rifiga ko'ra element elementning yo'l bo'yicha analitik davomi bo'ladi. elementning o'zi elementni yo'l bo'yicha analitik davomi deb qaralishi mumkin: Agar shu analitik funksiyaning ixtiyoriy elementi bo'lib, u elementni yo'l bo'yicha davom ettirish natijasida yuzaga kelgan bo'lsa, u elementni yo'l bo'yicha davom ettirish natijasida ham hosil bo'ladi. (19-chizma). Bu esa yuqoridagi tasdiqni isbotlaydi. ► Kanonik elementlar yordamida aniqlangan ikkita analitik funksiya berilgan bo'lsin. 2-ta'rif: Agar bu analitik funksiyalar kamida bitta umumiy elementga ega bo'lsa, bu analitik funksiyalar bir-biriga teng deyiladi. Ravshanki, bu holda yo'l bo'yicha davom ettirishda yagonalik teoremasiga ko'ra analitik funksiyalarning boshqa elementlari ham mos ravishda teng bo'ladi. Faraz qilaylik, biror analitik funksiya berilgan bo'lib, uni tashkil etgan elementlari bo'lsin, bunda indekslarning ixtiyoriy to'plami. 1-teorema: Analitik funksiya elementlarining yaqinlashish doiralari larning yiђindisi soha bo'ladi. ◄ Isbot: Aytaylik, analitik funksiya elementlarining yaqinlashish doiralari birlashmasi bo'lsin: Qar bir doira ochiq to'plam bo'lganligi sababli, ochiq to'plamlar birlashmasi sifatida ochiq to'plam bo'ladi. Ayni paytda boђlamli to'plam ham bo'ladi. to'plamga tegishli ixtiyoriy ikki va nuqtalarni olamiz: Unda analitik funksiyada markazlari va nuqtalarda bo'lgan kanonik elementlar topiladi. Bu elementlar va nuqtalarni birlashtiruvchi yo'l bo'yicha bir-birining analitik davomi bo'ladi. Binobarin, yo'l to'plamga tegishli bo'ladi. Shunday qilib, ning ochiq hamda boђlamli to'plam ekanligi ko'rsatildi. Demak, - soha. Teorema isbot bo'ldi. ► soha bir boђlamli bo'lgan holda ushbu teorema o'rinli bo'ladi. 2-teorema: Agar bir boђlamli soha bo'lib, undagi biror element sohaga tegishli ixtiyoriy yo'l bo'yicha analitik davom ettiriladigan bo'lsa, u holda bunday yo'llar bilan davom ettirilishdan hosil bo'lgan analitik funksiya sohada bir qiymatli ...