Aniq integralning tatbiqlari

Aniq integralning tatbiqlari Reja: 1. Yassi figuralarning yuzlarini hisoblash. 2. Egri chiziq yoyining uzunligini hisoblash. 3. Aylanma sirtlarning yuzi va aylanma jismlarning xajmlarini hisoblash. 4. Aniq integral yordamida fizika va mexanika masalalarini yechish. Malumki, agar [a; b] kesmada bo'lsa, mazkur funksiyaning mazkur kesma bo'yicha aniq integrali geometrik jihatdan xqa va xqb to'g'ri chiziqlar,Ox o'qi hamda egri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini ifodalar edi. Agar [a; b] kesmada bo'lsa, mazkur egri chiziqli trapetsiya Ox o'qidan pastda joylashadi va uning yuzi formula orqali hisoblanadi. Agar egri chiziq, Ox o'qi va xqa, xqb to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan figura Ox o'qidan yuqorida va pastda joylashgan bo'lsa, uning yuzi formula bilan hisoblanadi Agar xqa, xqb to'g'ri chiziqlar, va egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzani hisoblash lozim bo'lsa, uni ushbu formula bilan hisoblanadi. 1-Misol. Tenglamalari yq2x, yq0 va xq3 bo'lgan to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzi hisoblansin. Yechilishi. 2-Misol. yqcosx, yq0 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzi hisoblansin, bunda . Yechilishi. 3-Misol. yq0 va yq-x2Q4 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzi hisoblansin. Yechilishi. Bu yerda hisoblanishi lozim bo'lgan yuza yq4-x2 parabola bilan Ox o'q orasida joylashgan. Agar yq0 bo'lsa, xq2. 4-Misol. Tenglamalari yqx2 va yq2x bo'lgan parabola va to'g'ri chiziq orasida joylashgan yuza hisoblansin. Yechilishi. yqx2 va yq2x tenglamalarni birgalikda echib, parabola bilan to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalarining abstsissalari x1q0 va x2q2 larni topamiz. a) Agar egri chiziqli trapetsiyaning yuzi xqx(t), yqy(t) kabi parametrik shaklda berilgan egri chiziq, xqa va xqb to'g'ri chiziqlar hamda Ox o'k bilan chegaralangan bo'lsa, u yuza quyidagi formula bilan hisoblanadi: bunda va b) Agar qutb koordinatlari sistemasida biror uzluksiz egri chiziq o'zining kabi tenglamasi orqali berilgan bo'lsa, u holda qutb burchaklari hamda egri chiziqning AB yoyi bilan chegaralangan AOB sektor yuzi formula bilan hisoblanadi. 5-Misol. ellips bilan chegaralangan yuza topilsin. yechish. Ellipsning parametrik tenglamasini yozib olamiz: . U holda 6-Misol. lemniskata bilan chegaralangan yuza topilsin. yechish. Izlanayotgan yuzaning to'rtdan bir qismiga burchak mos keladi. Shuning uchun MUSTAQIL yechish UChUN MISOLLAR Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan yuzalar hisoblansin. 4.2. Egri chiziq yoyining uzunligini hisoblash. Agar tekis egri chiziq uzining yqf(x) tenglamasi bilan berilgan bo'lib, hosila uzluksiz bo'lsa, u holda egri chiziqning [a;b] kesmaga mos keluvchi yoyining uzunligi formula bilan hisoblanadi. Egri chiziq o'zining xqx(t) va yqy(t) kabi parametrik shakldagi tenglamasi bilan berilgan bo'lsin. Agar va hosilalar kesmada uzluksiz bo'lsalar, mazkur egri chiziqning kesmaga mos keluvchi yoyining uzunligi formula orqali hisoblanadi. Bu yerda: . Aytaylik, egri chiziqning tenglamasi qutb koordinatalari sistemasida tenglama bilan berilgan bo'lsin: U ...