Bir jinsli tortebranishi tenglamasi uchun koshi masalasining yechimi. Cheksiz tor uchun Dalamber formulasi

Bir jinsli tortebranishi tenglamasi uchun koshi masalasining yechimi. Cheksiz tor uchun Dalamber formulasi Reja: Bir jinsli tor tebranishi tenglamasi uchun Koshi masalasi. Koshi masalasining yechimini Dalamber usulida topish. Xulosa. Ikki uchi mahkamlangan yoki bir uchi mahkamlangan tor tebranish haqidagi masalani yechishdan oldin osonroq bo'lgan masalani yani cheksiz tor tebranishi haqidagi masalani ko'raylik. Quyidagi (1) birjinsli tor tebranish tenglamasining (2) boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish kerak. Bundagi f(x), F(x) lar (-,) oraliqda berilgan funksiyalardir. Nomalum u(x,t) funksiyaga hech qanday chegaraviy shart qo'yilmagan. (1) tenglamaning (2) boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi. Bu masalani yechish usuli Dalamber usuli deyiladi. (1) ning umumiy yechimi (3) bo'lishligini ko'rsatamiz. Bunda , funksiyalar ikki marta differensiallanuvchi funksiyalardir. Haqiqatan ham tenglik o'rinli bo'ladi. Demak, (3) (1)ning umumiy yechimi bo'ladi. Endi (2) boshlang'ich shartlardan foydalanib, nomalum , funksiyalarni topamiz. (2), (3) dan: t=0 bo'lganda (x)+(x)=f(x) (4) hosil bo'ladi. (5) (5) ni 0 dan x gacha integrallasak, (6) (4) va (6) dan: (7) (7) dagi x o'rniga x-at va x+at qo'ysak, (3) ga asosan Malumki, u holda (8) (8) formula tor tebranishi tenglamasi uchun Koshi masalasining Dalamber yechimi deyiladi. Misollar: 1) tenglamaning boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping. 2) 3) tenglamaning boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping. Endi (3) yechimning fizik manosini aniqlashga to'xtalamiz. umumiy ifodadagi funksiyalarni alohida qaraymiz. Avval funksiyani olib, uni t ning o'suvchi t=t0, t=t1, t=t2, qiymatlariuchun grafiklarni chizamiz. ikkinchi grafik birinchi grafikka nisbatan at1 miqdorga o'ng tomonga qarab siljigan, uchinchisi esa at2 miqdorga o'ng tomonga qarab siljigan va h.k. Agar bu chizmalarni ketma-ket qo'zg'almas ekranga proyeksiyalasak, birinchi grafik o'ng tomonga qarab yugurayotganini ko'ramiz. Endi (3) dagi ikkinchi qo'shiluvchi (x+at) ni qaraylik. Xuddi yuqoridagiday mulohaza yurgizsak, bu funksiya ham tezlik bilan chap tomonga qarab tarqaladi. (x-at), (x+at) funksiyalar bilan tavsiflanuvchi to'lqinlar yuguruvchi to'lqinlar deyiladi. Shunday qilib (1) tenglamaning umumiy yechimi (x-at) va (x+at) to'lqinlarning yig'indisidan (superpozitsiyasidan) iborat ekan. (8) yechimini tekshiraylik. F(x)=0 bo'lsin. Bu holda tor nuqtalarning boshlang'ich tezligi nolga teng bo'lib, tor faqatgina boshlang'ich siljitish natijasida tebranma harakat qiladi. Bu holda ga ega bo'lamiz. f(x) funksiya aniq bo'lgani uchun u(x,t) ning qiymatini har qanday x va t lar uchun hisoblash mumkin. Xuddi yuqorida ko'rganimiz kabi bu yerda ham u(x,t) funksiya ikkita va to'lqinlarning superpozitsiyasidan iborat. Birinchi to'lqin a tezlik bilan o'ng tomonga qarab tarqaladi va u to'g'ri to'lqin deyiladi. t=0 da esa ikkala to'lqinlarning profili ustma-ust tushadi. Agar f(x)=0 bo'lib, F(x)0 bo'lsa bo'ladi. deb faraz qilsak, u holda bo'ladi. Bu holda ham tor bo'ylab ...