Birinchi tartibli chizikli differentsial tenglamalar

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar Reja: 1. chiziqli differensial tenglamalar. 2.Birinchi tartibli differensial tenglamaning tula differensialli bo'lishi uchun zaruriy va etarli shart. 3 Integrallovchi kupaytuvchi. 5. Xulosa. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deb nomalum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo'lgan tenglamaga aytiladi. chiziqli tenglamaning umumiy ko'rinishi quyidagi + R(ch)u = Q(x) (1) ko'rinishda bo'ladi, bunda P(x), Q(x) funksiyalar berilgan uzluksiz funksiyalar (yoki uzgarmas sonlar). (1) ning yechimini y=u(x)v(x) (2) ko'rinishda izlaymiz. (2) ning ikkala tomonini differensiallaymiz. y'=u'v+uv' y, y' larni (1) ga kuysak, kuyidagiga ega bulamiz: u'v+uv'+Puv=Q u(+Pv)+u'v=Q (3) v funksiyani + Pv=0 (4) tenglama urinli buladigan qilib tanlaymiz. Bu tenglama uzgaruv-chilari ajraladigan tenglamadir. = -R dx ln|v|=-Pdx+lnc v=ce-P(x)dx (4) tenglamaning noldan farqli yechimini topish etarli bo'lgani uchun s=1 deb olsak v=ce-P(x)dx (5) (5) ni (3) ga kuyib (+ Pv=0) ekanligini etiborga olib kuyidagiga ega bulamiz: v = Q(x) e-P(x)dx =Q(x) du =Q(x) ePdx dx u=Q(x) ePdxdx +c (6) (5), (6) ni (2) ga kuysak (1) ning umumiy yechimi u= eP)dx(Q(x) ePdxdx +c) hosil bo'ladi. Misol 1. y'+u=x chiziqli tenglamani eching. P(x)= , Q(x)=x (5) ga asosan v=e-Pdx= e=e-lnx= , v(x) = (6) ga asosan : u(x) =Q(x) ePdxdx +c = xedx+c= =x e-lnxdx+c=x2dx +c =+c , u(x) =+c. Berilgan tenglamaning umumiy yechimi u=(+c)= +s bo'ladi. 2) Misol. y'+y=ex tenglamaning umumiy yechimini toping. R(x)=1 , Q(x)= ex v=e-Pdx = e-dx=e-x ,v(x)= e-x u =Q(x) ePdxdx=ex exdx +c = e2xdx+c = e2x+c . u(x)= e2x+c . Berilgan tenglamaning umumiy yechimi y=uv= e-x(e2x+c) bo'ladi. 2. Integrallovchi kupaytuvchi. quyidagi M(x,y)dx +N(x,y)dy= 0 (1) tenglamaning chap tomoni biror u(x,y) funksiyaning tula differensialidan iborat bulsa, yani du=Mdx+Ndy bulsa, (1) tula differensialli tenglama deyiladi. Tula differensialli tenglama bo'lishi uchun (2) shartning bajarilishi zarur va etarlidir. Tula differensialli tenglamalarni yechish utgan darslarda kurganmiz. Faraz kilaylik (1) tenglamaning chap tomoni biror u(x,y) funksiyaning tula differensiali bulmasin. Bu xollarda bazan (x,u) funksiyani tanlab olish mumkinki, tenglamaning barcha xadlarini ana shu funksiyaga kupaytirilganda tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning tula differensiali bo'lib koladi. (x,u) funksiya (1) tenglamaning integrallovchi kupaytuvchisi deyiladi. (1) tenglamaning ikkala tomonini hozircha nomalum integrallovchi kupaytuvchi (x,u) ga kupaytiramiz. Mdx+Ndy =0 hosil bo'ladi. Bu tenglamaning tula differensialli tenglama bo'lishi uchun quyidagi munosabatning bajarilishi zarur va etarlidir: , bundan (3) hosil bo'ladi. (3) tenglamani kanoatlantiruvchi xar qanday (x,u) funksiya (1) tenglamaning integrallovchi kupaytuvchisi bo'ladi. (3) tenglama (1) tenglamaga karaganda qiyinrok bo'lgan xususiy hosilali differensial tenglamadir. (3) tenglamani bazi bir xususiy xolarda yechishni kuraylik. 1) =(u) bulsin yani (x,u) funksiya ...