Birinchi tartibli chiziqli, bernulli va rikkati hamda to'la differentsialli tenglamalar

Birinchi tartibli chiziqli, bernulli va rikkati hamda to'la differensialli tenglamalar Reja: 1. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. 2. Bernulli tenglamasi. 3. Rikkati tenglamasi. 4. To'la differensialli tenglamalar va integrallovchi ko'paytuvchi. Tayanch ibora va tushunchalar Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar, Bernulli tenglamasi, Rikkati tenglamasi, to'la differensialli tenglama, integrallovchi ko'paytuvchi. 1. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.Bunday tenglama ko'rinishda bo'lib, lar berilgan funksiyalar. Bunday tenglamani yechish uchun almashtirish olib (1) tenglamani hosil qilamiz. funksiyani shunday tanlaymizki, bo'lsin. Bundan bo'lib, bu holda (1) tenglama ko'rinishda bo'ladi. Bevosita integrallasak hosil bo'ladi. Endi izlanayotgan funksiyaga qaytib (2) umumiy yechimni hosil qilamiz. 1-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. yechish. Berilgan tenglama birinchi tartibli chiziqli tenglama bo'lib ligini hisobga olib (2) formulaga asosan, umumiy yechim bo'ladi. 2. Bernulli tenglamasi. Bunday differensial tenglama ko'rinishda bo'ladi. Bu tenglamada =0 yoki =1bo'lsa, chiziqli tenglama hosil bo'ladi. Demak bo'lgan ,o'zgarmas. Bernulli tenglamasini ga bo'lib, almashtirish bajarsak, ekanligini hisobga olsak, birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama hosil bo'ladi. 2-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. yechish. Berilgan tenglamani bo'lib, tenglamani hosil qilamiz. almashtirish olsak bo'ladi. Bularni tenglamaga qo'yib, chiziqli tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning umumiy yechimini (6) formulaga asosan topish mumkin: Shunday qilib bo'ladi, ning o'rniga ni qo'yib, yechimni olamiz. Bu berilgan Bernulli tenglamasining umumiy yechimi bo'ladi. 3. Rikkati tenglamasi. Ushbu (4) ko'rinishdagi differensial tenglamaga Rikkati tenglamasi deyiladi. Bunda funksiyalar biror intervalda aniqlangan uzluksiz funksiyalar. (4) tenglamada bo'lsa, chiziqli tenglama, bo'lsa, Bernulli tenglamasi kelib chiqadi. Umuman olganda Rikkati tenglamasi yechimini elementar funksiya va ularning integrallari yordamida echib(kvadraturada integrallab) bo'lmaydi. Ushbu xususiy holni qaraymiz: Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi malum bo'lsa , bu tenglama yechimi kvadraturalarda integrallanadi. Rikkati tenglamasining biror xususiy yechimi bo'lsin. + almashtirish bajaramiz: bu holda bo'lib, (4) tenglama ko'rinishda bo'ladi. Oxirgi tenglikdan, (4) tenglama yechimi, yani ekanligini hisobga olsak, tenglama hosil bo'lib, bu Bernulli tenglamasidir. Bunday differensial tenglamaning umumiy yechimini qanday topishni yuqorida o'rgandik. 3- misol. Ushbu Rikkati tenglamasining umumiy yechimini toping. yechish. Bu tenglamaning xususiy yechimini ko'rinishda izlash maqsadga muvofiq, bu holda bo'lib, bir xil darajali lar koeffitsiyentlarini tenglashtirsak kelib chiqadi. Demak, xususiy yechimlar bo'ladi. xususiy yechim uchun Bernulli tenglamasi bo'lib, uning umumiy yechimi bo'ladi. 4. To'la differensialli tenglamalar va integrallovchi ko'paytuvchi. 1) To'la differensialli tenglama. (1) ko'rinishdagi tenglamaning chap qismi biror funksiyaning to'liq differensiali, yani bo'lsa, bunday tenglama to'la differensialli tenglama deyiladi.(1) tenglama to'la differensialli tenglama bo'lishi uchun shart bajarilishi kerak. To'la differensialli tenglama ta'rifidan 0 bo'lib, bundan = kelib chiqadi( ixtiyoriy o'zgarmas). funksiyani topish uchun ni o'zgarmas deb hisoblaymiz, u holda ...