Boshlangich funksiya va aniqmas integral. Morera teoremasi. Koshining integral formulasi

boshlang'ich funksiya va anikmas integral. Morera teoremasi. Koshining integral formulasi Reja: 1. boshlang'ich funksiya va anikmas integral. 2. Koshining integral formulasi. 3. Morera teoremasi. 4. Xulosa. 1. boshlang'ich funksiya va anikmas integral. Biz kompleks sohadagi boshlang'ich funksiya bilan tanishamiz. 1-ta'rif. Agar Ye sohaning barcha nuqtalarida F'(z)=f(z) tenglik bajarilsa, u holda F(z) funksiya berilgan f(z) funksiyaning boshlang'ich funksiyasi deyiladi. 1-teorema. Agar Ye sohada F(z) funksiya f(z) ning boshlang'ich funksiyasi bulsa, u holda f(z)=f(z)+c (bunda s-ixtiyoriy uzgarmas) xam Ye da usha f(z) funksiyaning boshlang'ich funksiya bo'ladi va aksincha, agar f(z) va F(z) lar f(z) funksiyaning boshlang'ich funksiyalari bulsa, u holda barcha zE lar uchun F)z)-F(z)=s (10.1) bo'ladi. Demak, haqiqiy o'zgaruvchilar sohasidagi o'xshash berilgan f(z) funksiyaning boshlang'ich funksiyalari cheksiz ko'p bo'lib, ular bir-biridan ixtiyoriy uzgarmas kushiluvchi bilan farq qiladi. Berilgan f(z) funksiyaning xamma boshlang'ich funksiyalari anikmas integral deyiladi va ushbu ko'rinishda belgilanadi. Demak, F(z), (10.1) bunda: F'(z)=f(z). Endi f(z) funksiya bir boglamli Ye sohada analitik bulsin. Ye ichida kuzgalmas z nuqta va ixtiyoriy z nuqta olib, ularni Ye sohadan chikib ketmaydigan biror G chiziq bilan tutashtiraylik (37-chizma) 37-chizma. U vaqtda quyidagi teoremani isbot qilish mumkin. 2-teorema. Bir boglamli Ye sohada f(z) analitik funksiya va z shu sohada biror kuzgalmas nuqta bulsin. U holda: F(z)= (10.2) funksiya Ye sohada analitik va f(z) uchun boshlang'ich funksiya bo'ladi, bunda integral z va z nuqtalarni tutashtiruvchi G chiziq buylab olingan. Isbot. f(z) funksiya Ye da analitik bo'lgani uchun Koshi teoremasiga muvofik yuqoridagi integralning qiymati G yulga bog'liq bulmay, fakat o'zgaruvchi z nuqtaga bog'liq, shu sababli uni F(z) bilan belgiladik. Endi, F'(z)= ekanini isbotlash kerak bo'ladi. Uning uchun Ye ichidan z a yaqin turgan yana bitta z+h nuqta olib yoycha orqali ularni tutashtiraylik. f(z) funksiya Ye da analitik bo'lgani uchun u uzluksiz xam bo'ladi. Shunga asosan xar qanday son uchun shunday sonni topish mumkinki, bo'lganda bo'ladi. Endi, (10.2) muvofik: - yoki (10.3) Ikkinchi tomondan, U xoda quyidagi ayniyatni yozish mumkin: f(z)= (10.4) Endi (10.3) va (10.4) dan: . Bundan, funksiya xosialsining ta'rifiga asosan: Shu bilan teorema tula isbot buldi. Bu teoremani kuyidagicha ta'riflash mumkin. 3-teorema. Agar f(z) funksiya bir boglamli Ye sohada uzluksiz bo'lib, Ye da yotuvchi ixtiyoriy yopiq kontur bo'yicha olingan integral nolga teng bulsa, u holda funksiya Ye da analitik bo'ladi, shu bilan birga F'(z)=f(z). Kompleks sohada xam ushbu: F(z)-F(z) Nyuton-Leybnits formulasi urinli ekanini isbotlashni talabaning uziga koldiramiz. 2. Koshining integral formulasi. Chegarasi G chiziqdan iborat bo'lgan yopiq sohada bir qiymatli va analitik f(z) funksiya berilgan ...