Determinantlarni satr yoki ustun elementlari bo'yicha yoyish

Determinantlarni satr yoki ustun elementlari bo'yicha yoyish Reja: 1. Determinantlarni satr elementlari bo'yicha yoyish formulasi. Misollar. 2. Determinantlarni satr elementlari bo'yicha yoyish. Misollar. 3. Kramer formulalari. 4. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining nolmas yechimga ega bo'lish sharti. 1. Agar Laplas teoremasida rk1 deb olib i- satrni ajratsak (4) formula quyidagi ko'rinishga keladi. 1- natija. (1) ga D determinantni i-satr elementlari bo'yicha yoyish formulasi deyiladi. Agarda Laplas teoremasida rk1 deb olib birta j- ustunini ajratib olsak ushbu natijaga ega bulamiz. 2- natija . Dk a1j A1j+ a2j A2j + + a nj Anj . (2) (2) ga D ni j- ustun elementlari bo'yicha yoyish formulasi deyiladi. Misol. ni avval 1-satr elementlari bo'yicha yoyib, keyin esa 1- ustun elementlari bo'yicha yoyib shisoblang. Avvalo D ni 1-satr elementlari bo'yicha yoyib shisoblaylik: Endi D ni 1- ustun elementlari bo'yicha yoyib shisoblaymiz: -1 2 -1 2 3 0 2 3 0 Dk1(-1)1+1 1 0 1 + 1 (-1)2+1 1 0 1 +1 (-1)3+1 -1 2 -1 + 0 k( 0 + 0 + 4 - 0 - 2 0 1 2 0 1 0 2 1 - 2 - 0 ) - ( 0 + 0 + 6 - 0 - 3 - 0) + ( 4 + 0 - 6 - 0 + 3 - 0) k 2 - 3 + 1 k 0. Agarda D ning i- satridagi fakat birta element, masalan ai1 0 , bo'lib kolgan elementlar nolga teng bulsa, u sholda D ning qiymati shu element bilan unga mos algebraik tuldiruvchi Ai1 ning kupaytmasiga teng bo'ladi. 2). 3). 3-natija. Agar n- tartibli D determinantdagi i- satrning (ustunning) elementlarini boshqa bir j- satrining (ustunining) algebraik tuldiruvchilariga mos ravishda kupaytirib kushsak yig'indi 0 ga teng bo'ladi, yani ai1Aj1+ ai2Aj2+ +ai n Aj n k 0 , ( i j) (3) a1i A1j+ a2i A2j + + a n i Anj k0, ( i j). (4) Isboti. 1- natijaga ko'ra Dka1j A1j+ a2j A2j + + anj Anj . Agar bu formulaning chap tomonidagi a1j , a2j , , a nj elementlarni mos ravishda a1i , a2i , , a ni lar bilan almashtirsak (yani D da j-ustun elementlarining o'rniga sham i-ustun elementlarini yozsak) D da ikkita bir xil ustun paydo bo'ladi. Determinantlarning xossasiga ko'ra bunday determinantning qiymati nolga teng. Shunday qilib (4) tenglik isbotlandi. (3) sham xuddi shunga o'xshash isbotlanadi. 3. Faraz etaylik n ta nomalumli n ...