Differentsial tenglamalar. Umumiy tushunchalar

differensial tenglamalar Umumiy tushunchalar Reja: 1. differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar. 2. Birinchi tartibli tenglamalar. 3. O'zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan birinchi tartibli tenglamalar. 4. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar. Tayanch tushunchalari differensial tenglama, oddiy differensial tenglama, xususiy hosilali differensial tenglama, differensial tenglamaning tartibi, differensial tenglama yechimi, integral chiziq, birinchi tartibli differensial tenglama, Koshi masalasi, boshlang'ich shartlar, o'zgaruvchilari ajralgan, o'zgaruvchilari ajraladigan, birinchi tartibli bir jinsli, birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar, Bernulli tenglamasi, Rikkati tenglamasi, to'la differensialli tenglama, integrallovchi ko'paytuvchi. 1. differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar.1-ta'rif. Erkli o'zgaruvchi, nomalum funksiya hamda uning hosilalari yoki differensiallari orasidagi munosabatga differensial tenglama deyiladi. Nomalum funksiya faqat bitta o'zgaruvchiga bog'liq bo'lsa, bunday differensial tenglamaga oddiy differensial tenglama deyiladi. Nomalum funksiya ikki yoki undan ko'p o'zgaruvchilarga bog'liq bo'lsa, bunday differensial tenglamalarga, xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi. 2-ta'rif. differensial tenglamaga kirgan hosilalarning eng yuqori tartibiga differensial tenglamaning tartibi deyiladi. tenglamalar mos ravishda ikkinchi va uchinchi tartibli tenglamalarga misol bo'ladi. Umumiy holda -tartibli differensial tenglama kњrinishda belgilanadi. 3-ta'rif. differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb tenglamaga qo'yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday differensiallanuvchi funksiyaga aytiladi. differensial tenglama yechimining grafigiga integral chiziq deyiladi. Masalan, bu berilgan differensial tenglamaning yechimi bo'lib, bu holda integral chiziq paraboladan iborat bo'ladi. differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalasi berilgan tenglamaning barcha yechimlarini topish va bu yechimlarning hossalarini o'rganishdan iborat. Algebraik tenglamalardagidek hamma differensial tenglamalarni yechish mumkin bo'ladigan umumiy usullar yo'q. differensial tenglamalarning har bir turiga xos yechish usulidan foydalaniladi. 2. Birinchi tartibli tenglamalar. Birinchi tartibli tenglama umumiy holda ko'rinishda yoziladi. (1) tenglamani ga nisbatan echsak bo'ladi. (2) tenglamaning o'ng tomoni faqat ning funksiyasi bo'lsa, tenglama ko'rinishida bo'lib, oxirgi tenglikdan bevosita ko'rish mumkinki, bunday tenglamaning yechimini topish funksiyaning boshlang'ich funksiyasini topishdan iborat bo'ladi, yani . Shunday qilib, (3) ko'rinishdagi birinchi tartibli differensial tenglamaning yechimi cheksiz ko'p yechimlar to'plamidan iborat bo'ladi. 1-ta'rif. ning funksiyasi har bir ixtiyoriy o'zgarmas bo'lganda (2) tenglamani qanoatlantirsa, uning umumiy yechimi deyiladi. 2-ta'rif. ixtiyoriy o'zgarmasning muayyan qiymatida umumiy yechimdan olinadigan yechimga xususiy yechim deyiladi. Umumiy yechimdan yagona yechimni olish uchun ko'pincha qo'shimcha shartdan foydalaniladi, bu yerda lar berilgan sonlar bo'lib, bu shartga boshlang'ich shart deb ataladi. 3-ta'rif. differensial tenglamaning (4) boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi. 1-misol. differensial tenglama uchunbo'ladigan boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi Koshi masalasini eching. yechish. Oldin berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz: Endi boshlang'ich shartdan foydalanib, bundan kelib chiqadi. Demak, Koshi masalasining yechimi bo'ladi. 3. O'zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan birinchi tartibli tenglamalar 4-ta'rif. ko'rinishdagi tenglamaga o'zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama ...