Giperbolik tekislikneing keli - kleyn modeli. Lobachevskiy aksiomalari sistemasining zidsizligi

Giperbolik tekislikneing keli-kleyn modeli. Lobachevskiy aksiomalari sistemasining zidsizligi Reja: Giperbolik tekislikning Keli-Kleyn modeli. Keli-Kleyn modelida to'g'ri chiziq, nur, kesma, yarimtekislik va burchaklar, kesma uzunligi. Avtopolyar uchuchlik. Lobachevskiy tekisligida parallel va uzoqlashuvchi to'g'ri chiziqlarning bazi xossalari. Tekshirish uchun savol va topshiriqlar. Uyga vazifa. 1. Giperbolik tekislikning Keli-Kleyn modeli. L2 Lobachevskiy tekisligi * - mavhum uzunlikka ega bo'lgan V3 psevdoevklid vektor fazo (1 indeksli) bilan aniqlanashini yuqorida ko'rib o'tdik. V3 fazoda vektorlarning skalyar ko'paytmasi - 1 indeksli aynimagan kvadratik forma uchun mos keladigan bichiziqli forma asosida aniqlanadi. L2 tekislikning proyektiv modelini ko'ramiz. V3 vektor fazo bilan aniqlanadigan P2 proyektiv tekislikda kvadratik forma Q:F(x)=0, x=, ikkinchi tartibli chiziqni aniqlaydi, bunda x nuqta vektor bilan aniqlangan. R2 proktiv tekislikda ixtiyoriy proyektiv almashtirishlar emas, balki V3 psevdoevklid vektor fazoning avtomorfizmlari bilan aniqlanadigan almashtirishlarnigina qaraymiz. Bunday proyektiv almashtirishlar Q kvadrikani o'zini - o'ziga o'tkazadigan HQ almashtirishlar qismgruppani tashkil qiladi. Aytaylik - V3 ning ortonormal bazisi bo'lib, bunda - mavxum birlik vektor bo'lsin. Agar vektor bu bazisda (x1, x2, x3) koordinatalarga ega bo'lsa, u holda bo'ladi. V bazis R=(A1,A2,A3,E) proyektiv reperni aniqlaydiki. Bu reperda Q ikkinchi tartibli chiziq tenglama bilan aniqlanadi. Demak, Q - ikkinchim tartibli oval chizig'idir. Malumki, M(m1,m2,m3) nuqta Q oval chiziqning ichki nuqtasi bo'lishi uchun bo'lishi zarur va etarlidir. Bu degan so'z M nuqta mavhum uzunlikka ega bo'lgan vektor bilan aniqlanadi, yani dir. Shunday qilib, akslantirishda to'plam Q oval chiziqning ichki nuqtalari to'plamidan iborat bo'ladi. akslantirishda sistemaning aksiomalari bajariladi, demak =L2 to'plam Q oval chiziqning ichki nuqtalari to'plamidan iborat bo'lib, bu to'plam Lobachevskiy tekisligining modelidan (Keli-Kleyn) iborat bo'ladi. Q ikkinchi tartibli oval chiziq L2 giperbolik tekislikning absolyuti deyiladi. Qurilgan bu model L2 giperbolik tekislikning Keli-Kleyn modeli deyiladi. shunga o'xshash L3 Lobachevskiy fazosining proyektiv modelini qurish mumkin. 2. Keli - Kleyn modelida to'g'ri chiziq, kesma, nur, yarimtekislik va burchaklar, kesma uzunligi. Aytaylik W - V3 povdoevklid vektor fazoning 2-o'lchovli qism fazosi bo'lsin va '=W bo'lsin. Bu holda figura Lobachevskiy tekisligining to'g'ri chizig'i deyiladi. - proyektiv tekislik R2 ning to'g'ri chizig'idir. Demak, to'g'ri chiziq Lobachevskiy to'g'ri chizig'i bo'lib, u Q oval chiziq bilan a to'g'ri chiziqning kesishuvidan hosil bo'ladi. (1-chizma). 1-chizma a va b proyektiv to'g'ri chiziqlari aL va bA Lobachevskiy to'g'ri chiziqlarini aniqlaydi. aL va bL lar Q ning vatarlari bo'lib, vatarlarning uchlari chiqarib tashlanadi. c va d to'g'ri chiziqlari L2 ning to'g'ri chiziqlarini aniqlaydi. Shunday qilib, U proyektiv to'g'ri chiziq L2 ning UL to'g'ri chizig'ini aniqlash uchun U to'g'ri chizig'i Q absolyutni ikkita U ...