Gruppa va uning asosiy xossalari

Gruppa va uning asosiy xossalari Reja: 1. Gruppa tushunchasi. Gruppaga ta'rif. 2. Yarim gruppa. 3. Monoid 4. Gruppaning sodda xossalari Bitta binar o va bitta unar * algebraik amallarga ega bo'lgan bush bo'lmagan G to'plam berilgan bulsin. Bu operatsiyalardan foydalanib, matematikada algebraning xususiy xollaridan biri bo'lgan gruppa tushunchasini urganamiz. ta'rif. Agar G to'plamda quyidagi aksiomalar bajarilsa, u holda (2, 1) turli algebra gruppa deyiladi: 1. (a, v, sG)ao(vos)=(aov)os; 2. (aG, eG)aoe=eoa=a; 3. (aG, a*G)aoa*=a*oa=e; Binar o operatsiya G to'plamda gruppa hosil qiluvchi asosiy operatsiya deb hisoblanadi. ta'rif. Agar algebra gruppa bo'lib, o operatsiya kommutativ, yani (a, vG) uchun aov=voa tenglik urinli bulsa, u holda gruppa o operatsiyaga nisbatan kommutativ gruppa yoki abel gruppasi deyiladi. ta'rif. Agar gruppadagi asosiy operatsiya qo'shish (ko'paytirish) amal bulsa, u holda bunday gruppaga additiv (multiplikativ) gruppa, agar additiv gruppada qo'shish amali kommutativ bulsa, u holda bunday gruppaga additiv-abel gruppa deyiladi. Masalan, additiv- abel gruppa, multiplikativ gruppa bulmaydi (chunki mZ (m1) bo'lganda m-1Z bo'ladi. ta'rif. Agar G to'plamda aniqlangan binar o operatsiya assotsiativ bulsa, u holda G to'plam yarim gruppa deyiladi. Masalan, algebra yarim gruppa bo'ladi. ta'rif. Neytral elementga ega bo'lgan yarim gruppa monoid deb ataladi. Masalan, algebra monoid bo'ladi, algebra yarim gruppa bulsada, lekin monoid bulmaydi. ta'rif. gruppaning biror M kism to'plami o binar operatsiyaga nisbatan gruppa tashkil etsa, u holda M ga gruppaning kicm gruppasi deyiladi. Kism gruppa tushunchasi mustaqil ta'limda batafsil urganiladi. Gruppaning quyidagi xossalari mavjud: 10. Gruppadagi asosiy operatsiyaga nisbatan neytral va teskari elementlar mavjud, ular yagona bo'ladi. 20. ¥ar qanday G multiplikativ gruppada bo'lish munosabati urinli, yani a, vG elementlar uchun x, yG bo'lib, ular uchun ax=v va ua=v tenglamalar a-1vG va va-1G yagona yechimlarga ega bo'ladi. 30. ¥ar qanday gruppada elementlarni chap va ung tomondan qisqartirish qonuni urinli. 40. G gruppaning a-1 elementiga teskari element a ning o'zi bo'ladi. 50. gruppaning ixtiyoriy p ta elementi shu gruppada aniqlangan algebraik amalga nisbatan assotsiativ bo'ladi. 60. a1, a2,,anG elementlarning kupaytmasi bo'lgan a1 a2an elementga teskari element an-1a2-1 a1-1 element bo'ladi. 70. =an, =(a-1)n=a-n,a0=e(ao) bulsa, u holda aman=am+n, (am)n=amn (m, nZ), fakat urin almashinuvchi a va v elementlari uchun (av)n=anvn, ana-n=e bo'ladi. Bulardan tashqari quyidagi munosabatlar xam urinli bo'ladi: a) nx+mx=(n+m)x; b) m(nx)==mnx; v) mx-nx=(m-n)x. Bu tengliklarda =nx, = n(-x) = -nx dir. yuqoridagi 7 ta xossaning isboti [1, 2] ...