Ikki karrali integrallar

Ikki karrali integrallar Reja: 1. Ikki karrali integralning ta'rifi. 2. Ikki karrali integralni hisoblash. 3. Ikki karrali integralning tatbiqlari. 1. Ikki karrali integralning ta'rifi. funksiya biror sohada aniqlangan bo'lsin. sohani ta qismlarga bo'lamiz. Har bir qismda bittadan nuqta tanlaymiz hamda (1) yig'indini to'zamiz. (1) yig'indiga funksiya uchun sohadagi integral yig'indi deyiladi. qism sohalar diametrlarining eng kattasi bo'lsin. sohaning yuzi. ta'rif. (1) integral yig'indining, qismlarga bo'linish usuliga, nuqtalarning tanlanishiga bog'liq bo'lmagan dagi limiti mavjud bo'lsa, bu limitga funksiyaning sohadagi ikki karrali integrali deyiladi va simvol bilan belgilanadi. Ikki karrali integral aniq integralning ikki o'zgaruvchili(argumentli) funksiya uchun umumlashgan holidir. Ikki karrali integral ham aniq integralning asosiy xossalariga ega. Aniq integralning xossalarini takrorlashni tavsiya etamiz. 2. Ikki karrali integralni hisoblash. Ikki karrali integralni hisoblash ikkita aniq integralni ketma-ket hisoblashga keltiriladi. soha funksiyalar grafklari hamda to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan bo'lsin, yani tengsizliklar bilan aniqlangan bo'lsa, ikki karrali integral quyidagicha hisoblanadi: (1) Oxirgi aniq integral ichki integral deb ataladi va uni hisoblashda ni o'zgarmas deb, integrallash bo'yicha olib boriladi. Ichki integralni hisoblash natijasi tashqi integral uchun integral osti funksiyasi bo'ladi. soha tengsizliklar bilan aniqlangan bo'lsa , ikki karrali integral formula yordamida ikkita aniq integralni hisoblashga keltiriladi. 1-misol. integralni soha: , to'g'rito'rtburchak bo'lganda hisoblang. yechish. (1) formulaga asosan, . 2-misol. integralni , chiziqlar bilan chegaralangan soha bo'lganda hisoblang. yechish. Birinchi chiziq uchi (0,2) nuqtada o'qiga simmetrik bo'lgan parabola. Ikkinchisi chiziq to'g'ri chiziq. Bu chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz: tenlamalar sistemasini echib, nuqtalarni topamiz. (1) formulaga asosan, bo'ladi. 3. Ikki karrali integralning tatbiqlari. integralda bo'lsa, integral figuraning yuzini ifodalaydi, yani 1-misol. chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzini toping. yechish. Berilgan chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz. kesishish nuqtalari bo'ladi. Shunday qilib, yuza (kv. birlik) 2. Yuqoridan sirt, quyidan tekislik, yon tomondan to'g'ri silindrik sirt bilan hamda tekislikda sohani hosil qiladigan silindrik jismning xajmi integral bilan hisoblanadi. 2-misol. , sirtlar bilan chegaralangan I oktantadagi jismning hajmini hisoblang. yechish. Hajmi hisoblanishi kerak bo'lgan jism yuqoridan tekislik, yondan parabolik silindr, tekislik bilan chegaralangan. Shunday qilib 3. Plastinka har bir nuqtasidagi zichlik funksiyasi bo'lsa, uning massasi integral bilan hisoblanadi. Plastinkaning o'qlarga nisbatan statik momentlari. , formulalar bilan hisoblanadi. Plastinka birjinsli, yani bo'lganda uning og'irlik markazining koordinatalari formulalar yordamida topiladi, bu yerda , sohaning yuzi. Plastinkaning OX va OU o'qlariga nisbatan inertsiya momentlari , formulalar bilan, koordinatlar boshiga nisbatan inertsiya momenti formula bilan aniqlanadi. Yuqoridagi formulalarda deb tekis figuralarning geometrik inertsiya momentlarini topish formulalarini olamiz. 3-misol. chiziqlar bilan chegaralangan figuraning og'irlik markazining koordinatlarini toping. yechish. Chiziqlar ...