Ikkinchi darajali taqqoslamalar

Ikkinchi darajali taqqoslamalar 1. Ikkinchi darajali taqqoslamalar va ularning ikki nomalumli ikkinchi darajali aniqmas tenglamalar bilan bog'liqligi. Ikkinchi darajali taqqoslamaning umumiy ko'rinishi. dan iborat. Bu Ushbu ikki nomalumli Aniqmas tenglama. ga teng kuchli. (1) ko'rinishdagi taqqoslamani yechishga ikkinchi darajali ikki nomalumli aniqmas tenglamaning umumiy holi ham keltiriladi. Buni yechish esa o'z navbatida Pell tenglamasi ning yechimi bilan ham bog'liqdir. 2. Ikkihadli taqqoslamaga keltirish (1) ni hamma vaqt ko'rinishga keltirish mumkin. Buni quyidagicha amalga oshiriladi. (1) ning ikala tomonini 4 A ga kupaytiramiz (modulini ham) (4) dan . Bu yerda deb olsak, hosil bo'ladi. Masalan: Endi shu 4 ta yechimlardan 2 moduli bo'yicha berilgan taqqoslamani qanoatlantiruvchilarini ajratib olamiz: . Demak, berilgan taqqoslama 24 moduli bo'yicha 2 ta yechimga ega. Agar (3) taqqoslamada (a, m)q1 bo'lib, u yechimga ega bulsa a ga m moduli bo'yicha kvadratik chegirma, agar yechimga ega bulmasa kvadratik chegirma emas deyiladi. Shuningdek agar taqqoslama yechimga ega bulsa, a ga n - darajali chegirma, aks holda esa a ga m moduli bo'yicha n- darajali chegirma emas deb ataladi. (3) taqqoslamani yechish umumiy holda taqqoslamalarni yechishga keltiriladi. 3. yechimlari soni. Tanlash yo'li bilan yechimlarini topish. Kvadratik chegirmalar soni. Ushbu (5) taqqoslama berilgan bulsin. Agar pa bulsa, trivial hol bo'ladi, yani . Shuning uchun ham deb hisoblaymiz. Tushunarliki agar (5)ning yechimi bulsa ham (5) ning yechimi bo'ladi. chunki dan va kelib chiqadi, u holda ga ziddir. Shunday qilib (5) yechimga ega bulsa, u 2 ta har xil yechimga ega bular ekan. (5) yechimlarini tanlash usuli bilan topish jarayoni umumiy holga nisbatan ancha sodda. Bu yerda biz r moduli chegirmalarning keltirilgan sistemasini absolyut qiymati jihatidan eng kichik sistema ko'rinishda yozib olib (6) musbat va manfiy chegirmalarning (5) ni qanoatlantirish yoki qanoatlantirmasligi bir vaqtda tekshirishimiz mumkin. Shuning uchun ham (5) da x ning o'rniga larni quyib tekshirish etarli. Bunda chap tomonda: hosil bo'ladi. Bulardan birortasi, masalan bilan mod p bo'yicha taqqoslanuvchi bulsa, u holda ga ega bulamiz. Shu bilan birga faqat bo'yicha (7) da birorta son bilan taqqoslanuvchi bo'lgan (5) ko'rinishdagi taqqoslamalargina yechimga ega. Boshqacha so'z bilan aytganda (7) da bo'yicha kvadratik chegirmalar yozilgan. Ularning barchasi har xil sinflarga tegishli. Haqiqiy ham, agar bo'lib bulsa. u holda (5) 4 ta yechimga ega bo'ladi. Buning bo'lishi mumkin emas. Shunday qilib mod p bo'yicha kvadratik chegirmalar soni ga teng va shuning uchun ham kvadratik chegirma emaslar son soni ham ga teng bo'ladi. Misol. bo'yicha eng kichik musbat kvadratik chegirmalarni aniqlang. Ularning soni ta. Ular Bularni ...