Ikkinchi tartibli bir jinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglamalar

Ikkinchi tartibli birjinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglamalar Reja: 1. Birjinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglamalar. 2. Xususiy yechimni topishdagi Lagranj usuli nimadan iborat. 3. Uzgarmas koeffitsiyentli birjinsli chiziqli differensial tenglamalar. 4. Xulosa. 1. Ikkinchi tartibli birjinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglamalar. Bizga birjinsli bo'lmagan chiziqli differensial tenglama y+p1(x)y'(x)+p2(x)y(x)=q(x) (1) berilgan bulsin. (1) tenglamaga mos birjinsli tenglama y+p1(x)y'(x)+p2(x)y(x)=0 (2) ko'rinishda bo'ladi. Teorema 1. (1) tenglamaning umumiy yechimi shu tenglamaning biror xususiy yechimi bilan (2) tenglama umumiy yechimning yig'indisidan iborat bo'ladi. Yani u=u(x)+(x) bunda (x) - (1) ning xususiy yechimi. u(x) - (2) ning umumiy yechimi. Faraz kilaylik (x) (1) tenglamaning xususiy yechimi, u(x) (2) tenglamaning umumiy yechimi bulsin. U holda (x)+p1'+p2=q(x), u+p1u'+p2u=0 bo'ladi. Bu tengliklarni mos ravishda qo'shish natijasida (u+)+p1(u+)'+p2(u+)= q(x) Bundan esa u=u(x)+(x) funksiya (1) tenglamaning yechimi bo'ladi. Malumki, (2) ning umumiy yechimi u=s1u1+s2u2 bo'lib u1(x), u2(x) lar fundamental yechimlar sistemasi, s1, s2 lar ixtiyoriy uzgarmas sonlar. Shunday qilib, u=s1u1(x)+s2u2(x)+(x) (3) (1) tenglamaning umumiy yechimi bo'ladi. Endi (1) tenglamaning xususiy yechimini topish usullaridan birini keltiramiz. u1, u2 lar (2) ning fundamental yechimlar sistemasi bulsin. Bu holda (2) ning umumiy yechimi u=s1u1(x)+s2u2(x) (4) bo'ladi, bunda s1, s2 lar ixtiyoriy uzgarmas sonlar. s1, s2 larni x ning funksiyasi bulsin deb (1) ning xususiy yechimini u=s1(x) u1+s2(x) u2 (5) ko'rinishda izlaymiz. (5) ning ikkala tomonini differensiallaymiz: u'=s1 u1'+s2 u2'+s1' u1+s2' u2 Izlanayotgan s1(x), s2(x) lar s1 u1'+s2 u2'=0 tenglamani kanoatlantirsin deb faraz kilamiz. Natijada u=s1 u1'+s2 u2' (6) hosil bo'ladi. (6) ning ikkala tomonini differensiallasak, u=s1 u1+s2 u2+s1' u1'+s2' u2' (7) (5), (6), (7) larni (1) ga kuysak, u1, u2 lar (2) tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi bo'lgani uchun s1' u1'+s2' u2'=q(x) (8) hosil bo'ladi, s1, s2 larni topish uchun s1 u1'+s2 u2'=0 s1' u1'+s2' u2'=q(x) tenglamalar sistemasiga ega bulamiz. Bu sistemaning determinanti u1 u2 u'1 u'2 bo'lgani uchun (9) sistemani s1', s2' larga nisbatan yechish mumkin. s1'= , s2'=; Bu tenglamalarni s1(x), s2(x) larga nisbatan echsak s1(x)=- , s2'=; s1(x), s2(x) larni (5) ga kuysak (1) ning umumiy yechimi hosil bo'ladi, yani u=(- )u1+()u2 (1) ning xususiy yechimi ( bo'lganda ) (x)= u2 - u1; (10) bo'ladi. Xususiy yechimni bu usulda topish Lagranj usuli, yoki ixtiyoriy o'zgaruvchilarni variatsiyalash usuli deyiladi. Misol. y-=x2-1 (11) y-=0 (12) (12) ning bitta yechimi u=x2 bulsa (11) ning umumiy yechimini toping. Avvalo (12) ning umumiy yechimini topamiz. (12) ning u1=x2 yechimi. Endi yechimini u2=u1 formuladan foydalanib topamiz . r(x)=-. Natijada, u2=x2=x3 u1=x2 , u2=x3 funksiyalar (12) ning fundamental yechimlar sistemasini ...