Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar

Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar Reja: 1. Ikkinchi tartibli hosilaga nisbatan echiladigan tenglamalar. 2. Ikkinchi tartibli chiziqli birjinsli differensial tenglamalar. 3. yechimlarning fundamental sistemasiga ta'rif berish. 4. Liuvill formulasidan kaysi vaqtda foydalaniladi? 5. Xulosa. 1. Ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy ko'rinishi quyidagi F(x, u, u', y)=0 (1) ko'rinishda bo'ladi. Ikkinchi tartibli va umuman n- tartibli differensial tenglamalarni yechish usullaridan biri tenglama tartibini pasaytirish yo'li bilan yechish. Biz bu yerda shu usuldan foydalanamiz. (1) tenglamaning muhim xususiy xollarni karaymiz. I. (1) tenglama u katnashmasin, yani F(x, y', y)=0 (2) Bu holda y'=p almashtirish natijasida y''=p' bo'lib, (2) tenglama F(x, r,r')=0 birinchi tartibli differensial tenglamaga keltiriladi. Misol. y-y'=0 tenglamani eching. y'=p , y=p' p'-p=0 r=s1x y'=s1x, u=s1+ s2. II. (2) tenglamada x o'zgaruvchi katnashmasin, yani F(u, y', y)=0 (3) Bu holda y'=p almashtirish bajarib , R ni u ning funksiyasi sifatada karab, kuyidagiga ega bulamiz. . Bu holda berilgan tenglama quyidagi F(u, r, )=0 ko'rinishdagi birinchi tartibli differensial tenglamaga keladi. Misol. yy-y'2=0 tenglamani eching. y'=p, y=p bo'lganda berilgan tenglama ur-r2=0 ko'rinishga keladi. r0 , = r=s1u u'=c1y =cy=c2e Ikkinchi tartibli hosilaga nisbatan echilgan tenglamaning umumiy ko'rinishi kuyidagicha bo'ladi. y=f(x, y, y') (4) (4) tenglamaning muhim xususiy xollarini karaymiz. II . y=f(x) tenglamani yechish. Berilgan tenglamani ketma - ket integrallab, kuyidagiga y'=f(x)dx +c1, y= (f(x)dx+c1)dx+c2 ega bulamiz. Misol. y=3x2 y'=x3+c1 , u4= +s1x+s2 . IV. y=f(y) bulsin. Bu tenglamaning ikkala tomonini 2y'dx ga kupaytiramiz 2y'y= 2y' f(u) 2y'y=d(y')2 , y'dx=dy ekanligini etiborga olsak berilgan tenglamadan, quyidagi d(y'2)=2f(y)dyy'2=2f(y)dy+c1y'= hosil bo'ladi. Misol. y= y tenglamaning u , y' boshlang'ich shartlarni kanoatlantiruvchi yechimni toping. yuqoridagiday, berilgan tenglamaning ikkala tomonini 2y'dx kupaytirib, tenglamning ikkala tomonini integrallasak, 2y'ydx=2yy'dxd(y'2)= 2ydy y'2=y2+c1 boshlang'ich shartga asosan 0=1+s1 , s1=-1. Bu holda boshlang'ich shartga asosan natijada, u+=e , u-=e bo'lib, umumiy yechim u= bo'ladi. V. y=f(y') bulsin. y'=z deb belgilasak, y=z' bo'lib, berilgan tenglama =f(z) =dx=x+s1 keyingi tenglamadan z ni topish mumkin bulsa, yani z=(x,c1) bulsa, y'=(x,c1) berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo'ladi. 2. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. Ikkinchi tartibli birjinsli chiziqli differensial tenglamalar. Nomalum funksiya u va uning y', y hosilalariga nisbatan birinchi darajali bo'lgan y+p1(x)y'+p2(x)y=q(x) (1) tenglama ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi, bundagi p1(x), p2(x), q(x) funksiyalar [a,b] kesmada berilgan funksiyalardir. (1) tenglama birjinsli bo'lgan chiziqli differensial tenglama deb xam yuritiladi. Agar (1) da q(x)=0 bulsa, yani y+p1(x)y'+p2(x)y=0 (2) ko'rinishdagi tenglama ikkinchi tartibli chiziqli birjinsli differensial tenglama deyiladi. (2) tenglamaning bazi xossalarini keltiramiz: Teorema1. Agar u1(x) funksiya (2) tenglamaning yechimi ...