Integralning ta'rifi. Integralning xossalari. Koshi teoremasi

Integralning ta'rifi. Integralning xossalari. Koshi teoremasi Reja: 1. Integralning ta'rifi. 2. Integralning asosiy xossalari. 3. Koshi teoremasi. 4. Xulosa. 1. Integralning ta'rifi. Kompleks (z) tekislikdagi biror Ye sohada uzluksiz va bir qiymatli w=f(w)=u(x,y)+iv(x,y) (1) funksiya berilgan bulsin. U holda f(z) funksiya Ye sohada yotgan ixtiyoriy G sillik chiziqda xam bir qiymatli va uzluksiz bo'ladi. Bu chiziqning tenglamasi z=z(t) () bo'lib, uning boshlang'ich nuqtasi z va oxirgi nuqtasi Z bulsin, yani: z=z( ), Z=z(). Odatda t ning o'sishiga mos yo'nalishni G ning musbat yo'nalishi deb G orqali, bunga qarama-qarshi yo'nalishni esa manfiy yo'nalish deb G bilan belgilanadi. G chiziqni ushbu z (2) nuqtalar vositasida ixtiyoriy ravishda n ta yoychalarga bulamiz va shu yoychalardan xar birining istalgan joyidan bitta nuqta olib, bu nuqtalarni mos ravishda (3) deb belgilaymiz. Ushbu (4) yig'indini odatda integral yig'indi deyiladi. Bu yig'indining qiymati (2) va (3) nuqtalarga bog'liq. Agar biz (2) nuqtalarni ketma-ket to'g'ri chiziq kesmalari bilan tutashtirsak, G egri chiziqka chizilgan sinik chiziq hosil bo'ladi.Bu sinik chiziq bo'laklarining uzunliklari lardan iboratdir. Mana shu larning eng kattasi bulsin. Endi, bo'lgani uchun Shularga asoslanib S integral yig'indini kuyidagicha (4) yozish mumkin. 1-ta'rif. Agar nolga intilganda (4) integral yig'indi va nuqtalar G chiziqning kaysi joylaridan olinganiga bog'liq bulmay, aniq bir chekli limitga intilsa, shu limitni f(z) funksiyaning G chiziq buylab olingan integrali deyiladi va kuyidagicha yoziladi: (5). G chiziq integrallash yo'li yoki konturi deyiladi. ta'rifda aytilgan limit xakikatan xam mavjud, chunki f(z) funksiya G da uzluksiz bo'lgani uchun (1) ga asosan u(x,y) va v(x,y) funksiyalar xam uzluksiz bo'ladi. U holda egri chiziqli integrallar ta'rifiga asosan kuyidagicha tengliklarga ega bulamiz: Demak, (6) yoki qisqarok qilib, ko'rinishda yozish kulayrok. (6) ning ung tomoni haqiqiy argumentli funksiyalardan olingan egri chiziqli integrallardan iborat. 2. Integrallarning asosiy xossalari. 1-xossa. Uzgarmas kupaytiruvchini integral belgisi tashka-risiga chiqarish mumkin: . Xakikatan xam, tenglikning ikki tomonida (yani n) faraz kilinib limitga utilsa 1-xossa isbot bo'ladi. 2- xossa. Integrallash konturining yo'nalishi qarama-kar-shisiga uzgartirilsa integral belgisi oldidagi ishora xam uzgaradi: Xakikatan xam, va yig'indilar fakat ishoralari bilangina farq qiladi. Demak, ularning limitlari xam shu bilan farq qiladi. 3-xossa. Chekli sondagi funksiyalar yig'indisidan olingan integral uning xar bir xadidan olingan integrallar yig'indisiga teng: Xakikatan xam, chekli yig'indi uchun bu tenglikning ikki tomonidan, deb limitga utish kifoya. 4-xossa. Agar uzunligi L bo'lgan G chiziqning xamma nuqtalarida M0 son uchun bulsa, u holda bo'ladi. Xakikatan xam, Buning ikki tomonidan limit olinsa 4- xossa isbot bo'ladi. 5-xossa. bunda G egri chiziq G yoylardan tuzilgan ...