Ixtiyoriy vektor fazolarda chiziqli operatorlar

Ixtiyoriy vektor fa'zolarda chiziqli operatorlar Reja: Asosiy tushunchalar. Masalalar yechish. Agar shar bir aV vektorga bir =iymatli ani=langan v(a) vektor mos =o'yilsa va =uyidagi shartlar bajarilsa, V vektor fazoda chizi=li operatorlar ani=langan deyiladi. 1. (x+u) (x) (u), x,uV 2. (x) (x) , xV, R Agar A matritsa ustunlarining elementlari, e1, e2,…,en bazisdagi (e1), (e2),…, (en) bazis vektor obrazlarining koordinatalaridan tuzilgan bo'lsa, u holda A matritsa chiziqli operatorning e1,e2,…en bazisdagi matritsasi deyiladi. Agar V fazoda ikkita e1,e2,…en va f1,f2,…fn bazislar berilgan bo'lib, chiziqli operatorning bu bazislardagi matritsalari A va V bo'lsa, u sholda bu matritsalar =uyidagi formula bilan bolanadi. V S-1 AS Bu yerda S - e1,e2,…en bazisdan f1,f2,…fn bazisga o'tuvchi matritsa. V fazodagi ikkita va chizi=li operatorlarning yiindisi, ko'paytmasi va sonining chizi=li operatorga ko'paytmasi mos ravishda =uyidagi tengliklar bilan ifodalanadi xx xx xx Agar son mavjud bo'lib, x nolmas vektor uchun xx shart bajarilsa, x vektor V vektor fazodagi chizi=li operatorning maxsus vektori deyiladi. son - x vektorga mos keluvchi maxsus son deyiladi. Endi cheksiz o'lchovli fa'zolarni =araylik. Faraz =ilaylik R fazo ixtiyoriy cheksiz o'lchovli Yevklid fazosi bo'lsin. R cheksiz o'lchovli fazoda bazis tushunchasi =uyidagicha kiritiladi. ta'rif: Agar R cheksiz o'lchovli fazodagi e1, e2, …, en, … (1) vektorlarning birortasi sham shu tizimning chekli mi=dordagi bosh=a vektorlarining chizi=li ifodasi bo'lmasa, u sholda bunday (1) vektorlar tizimi chizi=li bolanmagan deyiladi va R dagi shar =anday chizi=li bolanmagan vektorlar tizimi shu fazoning bazisi deyiladi. Endi biror cheksiz o'lchovli fazoning (masalan l2 ning) bazisi e(1), e(2), …, e(n), … (2) berilgan bo'lsin. Bu tizimdan olingan chekli mi=dordagi ixtiyoriy vektorlarning chizi=li (k - sonlar, k=1,2,…,m) ifodalarning to'plamini M deb belgilaylik. Bu M to'plam tizimning chizi=li =obii deyiladi. M chizi=li =obi=ning yopii L to'plam (2) tizimning vektorlari shosil =ilgan fazoning (masalan l2 ning) =ism fazosi deyiladi. Demak, L to'plamga (3) ko'riishdagi vektorlar va bunday vektorlar ketma-ketliklarining limitlari kiradi. ta'rif: Agar (2) tizim bazisdan bo'lib ixtiyoriy ikkita shar xil vektorlarning skalyar ko'paytmasi bo'lsa, usholda (2) ortogonal bazis deyiladi va bo'lsa ortonormal bazis deyiladi. Ortogonal tizim uchun =uyidagi xossalarni keltiramiz. Teorema 1. L =ism fazo =uyidagi ixtiyoriy vektorlar tizimi y(1), y(2), …, y(m),… (6) dan shosil =ilingan bo'lib, z vektor (zl2) (6) dagi vektorlarning shar biri bilan ortogonal bo'lgan bo'lsa, u sholda z vektor L dagi ixtiyoriy x vektorga sham ortogonal bo'ladi. Teorema 2. l2 dagi x vektor L fazoda yotishi uchun uning ko'rinishda ifodalanishi zarur va kifoyadir. Bunda y(1), y(2), …, ...