Karrali integrallar

Karrali integrallar Reja: Ikki o'lchovli integral. Ikki o'lchovli integralning xossalari. Uch o'lchovli integral va uning xossalari. Ikki o'lchovli integralni hisoblash. Uch o'lchovli integralni hisoblash. Oxu tekislikda L chiziq bilan chegeralangan yopiq D sohada uzluksiz z=f(p) yoki z=f(x,y) funksiya berilgan bulsin. quyidagi amallarni bajaramiz. D sohani xar qanday chiziqlar bi- lan n ta ixtiyoriy kismga bulamiz: S1, S2, …, Sn. 1-chizma. Bu kismlarni elementar yuzchalar deb ataymiz. Bu Si elementar yuzchalarning xar birida bittadan Pi(xi,yi) nuqta olamiz.(1-chizma). Tanlab olingan nuqtalarda z=f(p)=f(x,y) funksiya qiymatlarini hisoblab, ushbu ko'rinishdagi yig'indi tuzamiz: Bu yig'indi z=f(p)=f(x,y) funksiya uchun D coxada integrald yig'indi deyiladi. Kuyidagim teorema urinli. TYeORYeMA: Agar chegaralangan yopiq D sohada z=f(p)=f(x,y) funksiya uzluksiz bulsa, u holda bu sohani kismlarga bo'lish sonini Si yuzchalar diametrlarning eng kattasi nolga intiladigan qilib kattalashtirilganda (n). ko'rinishda integral yig'indilarning limiti mavjud bo'ladi. Bu limit D sohani Si kismlarga bo'lish usuliga xam, xar kaysi kism ichida ri nuqtani tanlash usuliga xam bog'liq bulmaydi, z=f(p)=f(x,y) funksiyadan olingan ikki o'lchovli integral deyiladi va bunday belgilanadi: Demak, yoki f(p)=f(x,y) funksiyadan D coxa bo'yicha olingan ikki o'lchovli integral quyidagi D soha bilan, yuqoridan z=f(p)=f(x,y) sirt bilan, yasovchilari Oz ukka parallel bo'lgan silindrik jismning xajmiga teng bo'ladi. Ikki o'lchovli integral quyidagi xossalarga ega: 1-xossa. Uzgarmas kupaytuvchini ikki o'lchovli integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, yani 2-xossa. Bir nechta funksiyaning algebraik yig'indisidan olingan ikki o'lchovli integral kushiluvchilardan olingan ikki o'lchovli integrallarning algebraik yig'indisiga teng, yani 3-xossa. Agar D integrallash sohasi bir nechta kismga bulinsa, u xoldasoha bo'yicha olingan ikki o'lchovli integral xar kaysi kismdan olingan ikki o'lchovli integrallar yig'indisiga teng, yani 4-xossa. Agar integrallash sohasida integral ostidagi funksiya o'z ishorasini uzgartirmasa, u holda ikki o'lchovli integral shu ishorani saklaydi, yani agar D sohada f(x,y)0 bulsa, u holda bo'ladi. 5-xossa. Agar integrallash sohasida ikki funksiya biror tengsizlikni kanoatlantirsa, u holda bu funksiyalardan olingan ikki o'lchovli integrallar xam shu tengsizlikni kanoatlantiradi, yani agar D sohada f(x,y)(x,u) bulsa, u holda Ikki o'lchovli integralni hisoblash masalasini karaylik. Oxy tekislikda yotuvchi D sohani koordinata uklaridan biriga, masalan, Ou ukka paralel bo'lgan va sohaning ichki nuqtasidan utadigan xar qanday to'g'ri chiziq uning chegarasini ikki nuqtada kesib utadigan qilib olamiz (2-chizma). Karalayotgan xol-u da D soha u=1(x), u=2(x), x=a, x=v chiziqlar bilan chegaralangan, bunda 1(x)2(x), a ...