Kesmaning uzunligi. Mavjudlik va yagonalik teoremalari. Ko'pburchakning yuzi. Mavjudlik teoremasi

Kesmaning uzunligi. Mavjudlik va yagonalik teoremalari. Ko'pburchakning yuzi. Mavjudlik teoremasi Reja: 1.Kesmalarni o'lchash, kesma uzunligi. 2. Mavjudlik teoremasi. 3. Kesma uzunligining yagonalik teoremasi. 4. Ko'pburchakning yuzi, mavjudlik teoremasi. 5. Uyga vazifa. 1. Kesmalarni o'lchash, kesma uzunligi. L orqali barcha kesmalar to'plamini, R+ orqali musbat haqiqiysonlar to'plamini belgilaymiz. l:LR+ akslantirish aniqlangan bo'lib, bu akslantirish quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa: 1). Agar AB va A'B' kesmalari teng bo'lsa, u holda l(AB)=l(A'B'); 2). Agar A - V - S bo'lsa, u holda l(AB)+l(ABC)=l(AC); 3). l(PQ)=1 bo'lgan PQ kesma mavjud; U holda kesmalarni o'lchash aniqlangan deyiladi. PQ va unga teng har qanday kesma 3) aksiomani qanoatlantirsa, bunday kesma chiziqli birlik yoki birlik kesma deyiladi. Birlik kesma aniqlanganda l(AB) musbat soni AV kesmani o'lchovi yoki uzunligi deyiladi. Bizning asosiy maqsadimiz, absolyut geometriya 1)-3) aksiomalarni qanoatlantiradigan l:LR+ akslantirish mavjud va PQ birlik kesma aniqlanganda bunday akslantirish yagona ekanligini isbotlashdan iborat. 2. Mavjudlik teoremasi. PQ birlik kesma tanlangan bo'lsa, l:LR+ akslantirish mavjudligini isbotlashda amalda ishlatiladigan kesmalarni o'lchash jarayonini keltirish mumkin. Aytaylik AV-berilgan kesma, PQ - birlik kesma bo'lsin. AV kesma uzunligiga teng a haqiqiy musbat sonining mavjudligini ko'rsatadigan jarayon AV kesmani o'lchash deyiladi. Bu borada a haqiqiy sonini a=n,n1,n2,n3 ko'rinishida ikkilik sanoq sistemasida yozish qulaydir, bu yerda n-manfiy bo'lmagan butun son, n1,n2 lar 1 yoki 0 raqamlarni qabul qiladi. AV nurda PQ ga teng AA1, A1A2,… kesmalarni ketma-ket qo'yamiz. n-qadamda An B bilan ustma-ust tushsa, u holda a=n deb olamiz. Agar A1,A2,…,An nuqtalardan biri V bilan ustma-ust tushmasa, u holda Arximed aksiomasiga ko'ra An va An+1 nuqtalar mavjud bo'ladiki, An - B - An+1 bo'ladi. P1 orqali AnAn+1 kesmani o'rtasini belgilaymiz. Quyidagi hollar bo'lishi mumkin a) P1 va B ustma-ust tushadi; b) An - B - P; v) P1 - B - An+1; a) holda a=n,1 deb olamiz; b) va v) hollarda, mos holda a=n,0 yoki a=n,1 deb olib, kelgusi qadamga o'tamiz. Bu jarayonni davom ettirib a=n,11, a=n,01… yoki a=n,11… larni olamiz va jarayonni davom ettirib, aniq bir a0 sonini olamiz. Shunday qilib, g:LR+ akslantirishning aniq bir ko'rinishini aniqladik. Bu g:LR+ akslantirish yuqoridagi 1)-3) aksiomalarni qanoatlantirishini ko'rsatish talab etiladi. Buning uchun quyidagi lemmalardan foydalaniladi. g(AB)=g(A'B') ekanligini kzrsatish qiyin emas. 1-lemma. Agar A'B' ...