Kompakt to'plamlar va fazolar

Kompakt to'plamlar va fa'zolar Reja: Kompakt to'plamlar. Kompakt topologik fa'zolar. Metrik fazoda kompakt to'plamlar. Takrorlash uchun savollar. Uyga vazifa. 1. Kompakt to'plamlar. topologik fazo va uning biror qism to'plami bo'lsine. Agar to'plamlar sinfi uchun bo'lsa, bunday to'plamlar sinfi - sistemasi A uchun qoplama deyiladi. Agar bu sistemaning biror qismi ham A to'plam uchun qoplama bo'lsa, u qoplamaning A uchun qism qoplamasi deyiladi. ta'rif. Agar A to'plamning ixtiyoriy ochiq qoplamasidan chekli qism qoplama ajratib olish mumkin bo'lsa, u holda A kompakt to'plam deyiladi. Bizga biror qism to'plamlar sistemasi markazlangan sistema deyiladi. 2. Kompakt topologik fa'zolar. 1-teorema. topologik fazo kompakt bo'lishi uchun undagi yopiq to'plamlardan iborat har qanday markazlangan sistemaning kesishmasi bo'sh bo'lmasligi zarur va etarlidir. Isbot. - ochiq to'plamlar sistemasi bo'lsa, , u holda sistema yopiq to'plamlardan iborat. Teoremaning isboti quyidagi ikkilik prinsipidan kelib chiqadi. Kompakt topologik fazo Xausdorf fazosi bo'lsa, bunday fazo kompakt deyiladi. Kompakt topologik fa'zolarning xossalarini keltiramiz. 2-teorema. Agar T - kompakt topologik fazo bo'lsa, u holda uning har qanday cheksiz qism to'plami hech bo'lmaganda bitta limit nuqtaga ega bo'ladi. Teoremani teskarisidan faraz qilish bilan isbotlash mumkin. 3-teorema. Kompakt topologik fazoning yopiq qism to'plami kompakt to'plam bo'ladi. Xausdorf fazosining qism fazosi ham xuausdorf fazosi bo'lganligidan quyidagi natijani hosil qilamiz. Natija. Kompaktning yopiq qism to'plami kompaktdir. 4-teorema. Xausdorf fazoda yotuvchi kompakt to'plamlar yopiq to'plamlardir. 3-4 teoremalardan ko'rinadiki, Xausdorf fa'zolar sinfida kompaktlik tushunchasi fazoning ichki xossasidir, yani T2 - fazo qanday bo'lsa ham undagi kompakt doimo kompakt to'plamligicha qolaveradi. 5-teorema. Har qanday kompakt normal topologik fazo bo'ladi (T1 va Tn ajraluvchanlik aksiomalarini qanoatlantiradi). 3. Metrik fazoda kompakt to'plamlar. Metrik fazoda kompaktlik tushunchasi to'liq chegaralanganlik tushunchasi bilan uzviy bog'liqdir. Aytaylik, M to'plam R metrik fazoga tegishli to'plam bo'lib, ixtiyoriy son bo'lsin. N to'plam R fazoning to'plam bo'lib, har qanday nuqtalar uchun hech bo'lmaganda bitta nuqta mavjud bo'lib, tengsizligi o'rinli bo'lsa, u holda N to'plam M to'plam uchun - to'r deyiladi. Masalan, butun koordinatali nuqtalar to'plami tekislik nuqtalari to'plami uchun - to'rni tashkil qiladi. Agar to'plam uchun ixtiyoriy soni uchun chekli - to'p mavjud bo'lsa, u holda M to'plam to'liq chegaralangq chegaralangan deyiladi. To'liq chegarlangan to'plamlar chegaralangan to'plamlar bo'ladi, ularni chekli sondagi chegaralangan to'plamlar birlashmasi sifatida olish mumkin. Lekin, teskari tasdiq hamma vqt o'rinli bo'lmasligi mumkin, yani chegaralangan to'plamlar to'liq chegaralangan bo'lmasligi mumkin. Agar to'plam to'liq chegaralangan bo'lsa, u holda uning yopilmasi ham to'liq chegaralangan to'plam bo'ladi. To'liq chegaralanganlik ta'rifidan ko'rinadiki, agar metrik fazoning o'zi to'liq chegaralangan bo'lsa, u holda bunday R ...