Kompleks o'zgaruvchili funksiyaning hosilasi. Differensiallanuvchi bo'lish sharti

Kompleks o'zgaruvchili funksiyaning hosilasi. differensiallanuvchi bo'lish sharti Reja: 1. Funksiyaning hosilasi. 2. Funksiyaning differensiali. 3. Funksiyaning differensiallanuvchi bo'lish sharti. 4. nuqtada va sohada analitik funksiya tushunchasi. 5. Xulosa. 1. Funksiyaning hosilasi. Kompleks tekislikdagi biror Ye soada aniqlangan bir qiymatli w=f(z) funksiya berilgan bo'lib, zYe bulsin. Bizga malumki, arument z orttirmasi z=z-z ayirmadan iborat bo'lib,funksiyaning unga mos orttirmasi esa: w=f(z+z)-f(z). 1-ta'rif. Agar z ni xar qanday yul (qonun) bilan nolga yaqinlashtirilganda xam nisbat fakat birgina aniq limitga intilsa, usha limit f(z) funksiyaning z nuqtadagi hosilasi deyiladi. (3.1) Mana shu hosila qisqacha w', f'(z), , ko'rinishda belgilanadi.Endi quyidagi w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y), w=u+iv, z=x+iy tengliklarga asoan (3.1) ni ushbu ko'rinishda yozish mumkin: f'(z0)= (3.2) 2-ta'rif. Agar w=f(z) funksiya z nukada differensiallanuvchi ((yoki monogen) funksiya deyiladi. 2. Funksiyaning differensiali. Agar w=f(z) funksiya z nukada differensiallanuvchi bulsa,uning orttirmasini w=f(z)=f'(z)z+z (3.3) ko'rinishda yozish mumkin.Bu yerda z nolga intilishi bilan xam nolga intiladi,yani cheksiz kichiklashuvchi miqdordir. (3.3) tenglikning ung tomonidagi birinchi kushiluvchi f'(z)z ga f(z) funksiyaning z nuqtadagi differensiali deyiladi va dw=f'(z)z ko'rinishda belgilanadi.Xususiy holda,w=z tenglikdan dz=1z ga ega bulamiz,yani erkin o'zgaruvchining differensiali uning orttirmasiza teng bular ekan. yuqoridagi dw=f'(z)z tenglikda z ni dz bilan almashtirib, funksiya differensiali uchun dw=f'(z)dz (3.4) formulaga ega bulmaiz. Bundan f'(z)= (3.5) yani funksiyaning hosilasi funksiya differensialining argument differensiali nisbatiga teng ekan. 3.Funksiyaning differensiallanuvchi bo'lish sharti. Agar funksiya z nuqtada hosilaga ega bulsa, (3.1) limit mavjud bo'lib, u z=x+iy ning qanday qonun bilan nolga intilishiga bog'liq emasligi ta'rifdan malum.Shu sababli biz z+z nuqtani,Ox ukka parallel bo'lgan bo'lgan yul bilan z nuqtaga yaqinlashtirishimiz xam mukin.Uning uchun z=x, yani y=0 deb olamiz (14-chizma) 14-chizma. 4 holda (3.1) dan: f'(z)= Shuningdek, agar x=0, yani z=iy deb olsak, z ning nolga intilishi uchun z+iy nuqta z nuqtaga Ou ga parallel yul bilan yaqinlashmogi kerak (14-chizma) U holda (3.1) tenglikdan quyidagi kelib chikadi: f'(z0)= (3.7) Sunggi (3.6) va (3.7) lardan chap tomonlari teng bo'lgani uchun ung tomonlari xam o'zaro teng bo'ladi. , yani: (3.8) Mana shu ikkala tenglik Dalamber-Eyler shartlari deb ataladi, ularin bazan Koshi-Riman shartlari ((s.-R.)) xam deydilar. Shunday qilib,agar w=f(z) funksiya z nuqtada hosilaga ega bulsa, bundan (S-R) zaruriy shartlari kelib chikar ekan. Yetarli shartlar. Biz u(x,y) va v(x,y) funksiyalarga qo'shimcha talab kuyamiz, yani ular (x,u) nuqtada differensiallanuvchi deb faraz kilamiz. Bunday funksiyalar uchun (S-R) shartlaridan f'(z) hosilaning mavjudligi kelib chiqishini ko'rsatish mumkin. u(x,y) va v(x,y) funksiyalarning (x,u) nuqtadaga orttirmalarini kuyidagicha yozish mumkin: (3.9) bulardagi , va lar esa z nolga intilishi bilan nolga intiladilar, yani cheksiz ...