Kompleks sonning trigonometrik shakli. Muavr formulasi

Kompleks sonning trigonometrik shakli. Muavr formulasi Reja: 1. Kompleks sonning geometrik tasviri. 2. Kompleks sonning trigonometrik shakli. 3. Trigonometrik shakldagi kompleks sonlarni ko'paytirish va bo'lish. z=a+vi kompleks sonni tekislikdagi dekart koordinatalari sistemasida abstsissasi a, ordinatasi v bo'lgan M(a; v) nuqta bilan tasvirlash qabul qilingan. U holda a haqiqiy son abstsissa o'qida yotuvchi A (a; 0), vi mavhum son ordinata o'qida yotuvchi V(0; v) nuqtalar bilan tasvirlanadi (1-chizma), 0=0+0i songa mos keluvchi nuqta koordinata boshi bo'ladi. Bunday tasvirlashda abstsissa o'qi- haqiqiy o'q, ordinata o'qi esa mavhum o'q deb yuritiladi. z=a+bi kompleks sonni boshi koordinata boshida va uchi M(a; v) nuqtada yotuvchi vektor bilan ham tasvirlash mumkin. Kompleks sonlar to'plami S bilan tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami orasida biektiv akslantirish mavjud. Masalan, z=2-3i, z2=-3, z3=5i sonlar moc ravishda tekislikdagi M1(2; 3), M2(-3; 0), M3(0; 5) nuqtalar bilan tasvirlanadi. ta'rif. z=a+vi kompleks sonning geometrik tasviri deb, koordinatalari a va v bo'lgan tekislikning nuqtasiga aytiladi. z=a+vi kompleks sonning geometrik tasvirini bildiruvchi vektorning uzunligi z kompleks sonning moduli deyiladi va u r== ko'rinishda belgilanadi. g= ni Pifagor teoremasi bo'yicha 1- chizmadagi MOA to'g'ri burchakli uchburchakdan topamiz. Bunda r= bo'ladi. 0x o'qning musbat yo'nalishi bilan OM vektor orasidagi ґtkir burchakni deb belgilaylik. U holda MOA to'g'ri burchakli uchburchakdan a=rcos, v=rsin larni topamiz. Bularni z = a+vi ga qo'yib z=r(cos +isin) (1) ni hosil qilamiz. (1) ga kompleks sonning trigonometrik shakli deyiladi (bunda g0, lekin istalgan (manfiy, nol, musbat) haqiqiy qiymatlarni qabul qila oladi). (1) da burchak z kompleks sonning argumenti deb ataladi va u Argz= kabi yoziladi. burchak tg= formuladan topiladi, lekin har doim ham burchakni bu formuladan topib bo'lavermaydi (Masalan, a=0 bo'lganda). Bunday holda ni topish uchun z ning geometrik tasviri ham etiborga olinadi. (1) ni umumiy shaklda z=r(cos(+2k)+isin(+2k) (kZ) deb yoziladi. Masalan, z=1+3i algebraik shakldagi kompleks sonni trigonometrik shaklga keltiraylik. Buning uchun g va larni topib ularni (1) ga qo'yamiz. Bunda r==2, yani r=2, tg=, yani tg= dan = bo'ladi. Demak, z=2(cos+isin) bo'lar ekan. Endi trigonometrik shakldagi kompleks sonlar ustida ko'paytirish va bo'lish amallarini ko'rib o'tamiz. z1z2=r1r2((cos1cos2-sin1sin2)+i(sin1cos2+cos1sin2)), z1z2=r1 r2 ((cos(1+2)+ sin(1+2)) (2) ga ega bo'lamiz. Demak, trigonometrik shakldagi ikkita kompleks sonning ko'paytmasi moduli ko'paytuvchilar moddularining ko'paytmasiga, argumenti esa ko'paytuvchilar argumentlarining yig'indisiga teng bo'lgan trigonometrik shakldagi kompleks son bo'ladi. Masalan, z1=2(cos230+isin230),z2=3(cos220+ism220) bo'lsa, u holda z1z2=6(cos450+isin450) bo'ladi. Istalgan z1=r1(cos1+isin1) kompleks sonni z2=(cos1+isin2)0 kompleks songa bo'lish quyidagicha bajariladi: (3) Trigonometrik shakldagi ikkita konplekslarning bo'linmasi trigonometrik shakldagi kompleks son bo'lib, bo'linmaning moduli bo'linuvchi va bo'luvchi modullarning bo'linmasiga, argument esa ...