Nofredgol'm integral tenglamalarga misollar

Nofredgol'm integral tenglamalarga misollar Reja: 1. Fure' almashtirishi. 2. Integral tenglama yadrosi argumentlar ayirmasidan iborat bo'lgan hol. 3. Integral tenglama yadrosi chizig'ida birinchi tartibli maxsuslikka ega bo'lgan hol. 4. Abel' tenglamasi. 1. Fure' almashtirishi. Fur'ening ushbu (1) integral formulasida foydalanib, bu yerda (2) integral tenglamani yechamiz, buning uchun (2) tenglamani ushbu ko'rinishda yozib olamiz (3) endi (3) tenglamani ga ko'paytirib bo'yicha oraliqda integrallaymiz Shunday qilib (2) tenglamani yechimi (4) ko'rinishda bo'lar ekan. 2. Integral tenglama yadrosi argumentlar ayirmasidan iborat bo'lgan hol. (5) integral tenglamani o'rganamiz. (5) integral tenglama Fredgol'm tenglamasi bo'lishi uchun (6) bo'lishi zarur edi. (5) tenglama uchun (6) shartni buzulganligini ko'rsatamiz ya'ni yadro kvadrati bilan integrallanuvchi emas. Haqiqatdan ham (7) ichki integralni hisoblaymiz Bu tenglikdan (8) ekanligi kelib chiqadi. Demak (5) tenglama Fredgol'm tenglamasi emas. Endi (5) tenglamani yechish usulini keltiramiz. Tenglamaning ikki tomoniga Fur'e almashtirishni qo'llaymiz buning uchun ikki tomonini ko'paytirib oraliqda integrallaymiz (9) va ushbu belgilashlarni kiritib ushbu (10) integralni hisoblaymiz. Ichki integralda ushbu almashtirishni bajaramiz, u holda (11) shunday qilib (11) ga asosan (10) ifodani quyidagicha yozib olamiz (12) (12) ga asoasn (9) ifoda sodda tenglamaga keladi agar bo'lsa, u holda . Demak yechimga kelamiz. Bu yerdan (13) yechimga kelamiz. Agar bo'lsa umuman olganda (13) integral mavjud emas, va (5) tenglama yechimga ega emas (-xarakteriskik son mazmuni) lekin bu sonlar butun integralni to'ldiradi, bu Fredgol'm teoremasiga zid. Fredgol'm tenglamasida -xarakteriskik son yakkalangandir. Shunday o'xshash natijani tenglama uchun ham olish mumkin faqat tenglama yadrosi uchun shartni bajarilishi kerak. 3. Integral tenglama yadrosi chizig'ida birinchi tartibli maxsuslikka ega bo'lgan hol. kompleks tekislikda yotuvchi yopiq kontur bo'lsin (14) (14) integral oddiy ma'noda uzoqlashuvchi bo'ladi, lekin bu integral integralning bosh qiymati ma'nosida yaqinlashuvchi bo'ladi. nuqtani chiziqdan markazi nuqtada radiusi bo'lgan aylana bilan ajratib olamiz va qolgan qismini orqali belgilaymiz. Singular integral ushbu tenglik bilan aniqlanadi. chiziqda yotmaydigan ixtiyoriy nuqta bo'lsin. funksiyani kiritamiz ga integrallansin va orqali ning ga mos ravishda kontur ichidan yoki tuchqarisida integragandagi limit qiymatin belgilaymiz. U holda Soxotskiy-Plemel formulasiga k'ra (15) (16) tengliklar o'rinlidir. funksiya kontur ichida regulyar funksiya bo'lsin va ga qadar uzluksiz bo'lsin. Agar kontur tashqarisda bo'lmasa. va yoki Soxotskiy-Plemel formulasiga ko'ra (17) Bu tenglik sonu (18) singulyar integral tenglamaning yechimi ekanligini bildiradi va bu xarakteristik songa kontur ichida chiziqqacha regulyar funksiyaning chiziqdagi qiymati xos funksiyaga mos keladi. Endi chiziqdan tashqari sohada regulyar bo'lib chiziqgacha uzluksiz bo'lsin va . U holda chiziq ichda va bu tenglikdan Soxotskiy-Plemel formulasiga ko'ra (19) tenglikka kelamiz. Bundan (19) ...