O'zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar. Birinchi tartibli tenglamalar

O'zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar. Birinchi tartibli tenglamalar Reja: O'zgaruvchilari ajralgan tenglamalar. O'zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar. 3. Birinchi tartibli tenglamalar: a) bir jinsli; b) chiziqli; v) Bernulli. O'ng tomoni faqat x hamda faqat y o'zgaruvchilarning funksiyalari ko'paytmasidan iborat tenglama o'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi, ya'ni (1) bu tenglikni dx ga ko'paytirib va g(y)0 ga bo'lib tenglikni hosil qilamiz. Uni integrallab yechimni topish mumkin: Misol. dydx=- tenglama yechilsin. yechish. O'zgaruvchilarni ajratib dyy=-dxx integrallaymiz: 1 - ta'rif. Agar ning har qanday qiymatida f(x,y)=kf(x,y) tenglik bajarilsa, f(x,y) funksiya x va y o'zgaruvchilarga nisbatan k - tartibli bir jinsli funksiya deyiladi. 2 - ta'rif. Agar birinchi tartibli (1.2) differensial tenglamaning o'ng tomoni - f(x,y) 0-tartibli bir jinsli funksiya bo'lsa, u holda (1.2) tenglama bir jinsli tenglama deyiladi. f(x,y) nolinchi tartibli bir jinsli bo'lsa, u holda ixtiyoriy uchun f(x,y)=f(x,y) bo'ladi. Xususan, u holda (1.2) tenglama (2) Bu tenglamani yechish uchun yx=U deb olamiz. U holda y=Ux, y'=U'x+U. Bularni (2) ga qo'yib o'zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga kelamiz. Integrallagandan so'ng U ni o'rniga ux ni qo'ysak, (2) tenglamaning umumiy integrali hosil bo'ladi. Misol. - 0-tartibli bir jinsli funksiya. Tenglamani quyidagicha yozib olamiz: o'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani hosil qilamiz. Natijada 3-ta'rif. Birinchi tartibli chiziqli tenglama deb hosilaga nisbatan chiziqli bo'lgan ushbu y'+(x)y+q(x)=0 ko'rinishdagi tenglamaga aytiladi, bunda . (3) tenglama yechimini y=U(x)v(x)=Uv ko'rinishida izlaymiz. y'=U'v+Uv' ni tenglamaga qo'yib U'V+V'U+(x)UV+q(x)=0 U'V+(V'+(x)V)U+q(x)=0 V(x) funksiyani V'(x)+(x)V(x)=0 tenglama o'rinli bo'ladigan qilib tanlab olamiz. Bu tenglamani yechamiz: bo'lsin. Topilgan V(x) ni (4) tenglamaga qo'yamiz va hosil bo'lgan tenglamani yechamiz: berilgan tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz. Misol. 4 - ta'rif. (5) ko'rinishdagi tenglamaga, bunda n0, n1, Bernulli tenglamasi deyiladi. Bu tenglama quyidagicha almashtirish yordamida yechiladi. Tenglamaning barcha hadlarini yn0 ga bo'lib (6) tenglamaga ega bo'lamiz. almashtirish bajaramiz. U holda Bu qiymatlarni (6) ga qo'yib chiziqli tenglamani hosil qilamiz. Buning umumiy integralini topib hamda z o'rniga y1-n ifodani qo'yib, Bernulli tenglamasining umumiy yechimini hosil qilamiz. A D A B I YO T L A R 1. A.S. Piskunov. Differensial va integral hisob. T. «O'qituvchi»,1974 y ,17 - 31 betlar. L.E.Elsgolts. Differensialnie uravneniya i variatsionnoe ischislenie. M. ,»Nauka» , 1969 g. ,s . 24 - 31 . 3. L.S. Pontryagin. Differensialnie uravneniya i ix prilojeniya. M., Nauka , 1965 g., s.15 - 20. 4. M.S. Salohitdinov, O'.N. Nasritdinov. Oddiy differensial tenglamalar. T. «O'zbekiston» , 1994 y., 19 - 31 betlar . 5. V.P. Minorskiy. Oliy matematikadan masalalar to'plami. T. «O'qituvchi», 1977, 224-230 betlar. 6. ww.ziyonet.o'z ...